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Lección 8Combinemos bases

Multipliquemos expresiones con bases distintas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar y explicar una regla para multiplicar términos que tienen diferentes bases pero el mismo exponente.

8.1 Bases distintas, mismo exponente

  1. Calcula 5^3 \boldcdot 2^3
  2. Calcula 10^3

8.2 Regla del producto para exponentes

  1. La tabla muestra productos de expresiones con distintas bases y el mismo exponente. Completen la tabla para ver cómo podemos reescribirlas. Usen la columna "expresión desarrollada" para trabajar en cómo combinar los factores y obtener una nueva base.

    expresión expresión desarrollada exponente
    5^3 \boldcdot 2^3 \begin{align}(5 \boldcdot 5 \boldcdot 5) \boldcdot (2 \boldcdot 2 \boldcdot 2) &= (2 \boldcdot 5)(2 \boldcdot 5)(2 \boldcdot 5)\\ &= 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \end{align} 10^3
    3^2 \boldcdot 7^2 21^2
    2^4 \boldcdot 3^4
    15^3
    30^4
    2^4 \boldcdot x^4
    a^n \boldcdot b^n
    7^4 \boldcdot 2^4 \boldcdot 5^4
  2. ¿Qué sucede si los exponentes no son iguales ni las bases tampoco? ¿Pueden escribir 2^3 \boldcdot 3^4 usando un solo exponente? Expliquen o muestren su razonamiento.

8.3 ¿De cuántas maneras podemos formar 3,600?

El profesor le dará a tu grupo herramientas para crear una representación visual con el fin de practicar un juego. Dividan la representación en 3 columnas con estos encabezados: 

a^n \boldcdot a^m = a^{n+m}

\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

a^n \boldcdot b^n = (a \boldcdot b)^n

Cómo jugar:

Cuando el tiempo comience, tu grupo debe escribir tantas expresiones como puedan, que sean equivalentes a un número específico, usando una de las reglas de exponentes que aparecen en el tablero. Cuando se acabe el tiempo, comparen sus expresiones con las de otro grupo para ver cuántos puntos ganan.

  • Tu grupo obtiene 1 punto por cada expresión distinta que escriban, que sea equivalente al número y que use la regla de exponentes elegida de manera correcta.
  • Si una expresión tiene exponentes negativos, tu grupo obtiene 2 puntos en lugar de solo 1.
  • Pueden retar las expresiones del otro grupo si piensan que realmente no son iguales al número dado, o si no siguen una de las tres reglas de exponentes. 

¿Estás listo para más?

Posiblemente te has dado cuenta que cuando elevas un número impar al cuadrado, obtienes otro número impar, y cuando elevas un número par al cuadrado, obtienes otro número par. Esta es una forma de desarrollar el concepto de par e impar para el número 3. Cada número entero es, o bien, divisible entre 3, uno MAYOR que un múltiplo de 3 o uno MENOR que un múltiplo de 3.

  1. Los siguientes son ejemplos de números que son uno mayor que un múltiplo de 3: 4, 7 y 25. Escribe tres ejemplos más.
  2. Los siguientes son ejemplos de números que son uno menor que un múltiplo de 3: 2, 5 y 32. Escribe tres ejemplos más.
  3. ¿Podría ser verdad que al tomar un número que sea múltiplo de 3 y elevarlo al cuadrado, el resultado seguirá siendo un múltiplo de 3? ¿Qué sucede con las otras dos categorías? Intenta elevar algunos números al cuadrado para verificar tus conjeturas.

Resumen de la lección 8

En lecciones anteriores, propusimos reglas para multiplicar y dividir expresiones con exponentes, que solo funcionan cuando las expresiones tienen la misma base. Por ejemplo,  10^3 \boldcdot 10^2 = 10^5 o  2^6 \div 2^2 = 2^4  

En esta lección, estudiamos cómo combinar expresiones con el mismo exponente, pero con distintas bases. Por ejemplo, podemos escribir 2^3 \boldcdot 5^3 como  2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 5 \boldcdot 5 \boldcdot 5 . Esto se agrupa nuevamente como  (2 \boldcdot 5) \boldcdot (2 \boldcdot 5) \boldcdot (2 \boldcdot 5) , y muestra que

\begin{align}2^3 \boldcdot 5^3 &= (2 \boldcdot 5)^3\\ & = 10^3 \end{align}

En el ejemplo anterior, podemos observar que el 2 y el 5 podrían remplazarse por diferentes números o incluso variables. Por ejemplo, si  a y  b son variables entonces a^3 \boldcdot b^3 = (a \boldcdot b)^3 . Más en general, dado un número positivo  n , a^n \boldcdot b^n = (a \boldcdot b)^n ya que en ambos lados hay exactamente  n factores que son a y  n factores que son  b .

Problemas de práctica de la lección 8

  1. Selecciona todas las afirmaciones que sean verdaderas:

    1. 2^8 \boldcdot 2^9 = 2^{17}
    2. 8^2 \boldcdot 9^2 = 72^2
    3. 8^2 \boldcdot 9^2 = 72^4
    4. 2^8 \boldcdot 2^9 = 4^{17}

  2. Encuentra los valores de x , y y z si (3 \boldcdot 5)^4 \boldcdot (2 \boldcdot 3)^5 \boldcdot (2 \boldcdot 5)^7 = 2^x \boldcdot 3^y \boldcdot 5^z .

  3. Han encontró una manera de calcular expresiones complicadas más fácilmente. Ya que 2 \boldcdot 5 = 10 , él busca pares de 2 y 5 que él sabe que son iguales a 10. Por ejemplo, 3 \boldcdot 2^4 \boldcdot 5^5 = 3 \boldcdot 2^4 \boldcdot 5^4 \boldcdot 5 = (3 \boldcdot 5) \boldcdot (2 \boldcdot 5)^4 = 15 \boldcdot 10^4 = 150,\!000. Usa la técnica de Han para calcular lo siguiente: 

    1. 2^4 \boldcdot 5 \boldcdot (3 \boldcdot 5)^3
    2. \frac{2^3 \boldcdot 5^2 \boldcdot (2 \boldcdot 3)^2 \boldcdot (3 \boldcdot 5)^2}{3^2}

  4. El precio del queso en tres tiendas es una función del peso del queso. El queso no está preempacado, así que un cliente puede comprar cualquier cantidad de queso.

    • La tienda A vende queso a a dólares por libra.

    • La tienda B vende el mismo queso a  b dólares por libra y un cliente tiene un cupón por $5 de descuento sobre la compra total en la tienda.

    • La tienda C es una tienda en línea, que vende el mismo queso a c dólares por libra, pero con costo de envío de $10.

    Esta gráfica muestra las funciones de precio de las tiendas A, B y C.

    1. Empareja las tiendas A, B y C con las gráficas j , k y \ell .

    2. ¿Cuánto cobra cada tienda por cada libra de queso?

    3. ¿Cuántas libras de queso paga el cupón de la tienda B?

    4. ¿Cuál tienda tiene el precio más bajo por media libra de queso?

    5. Si un cliente desea comprar 5 libras de queso para una fiesta, ¿cuál tienda tiene el menor precio?

    6. ¿Cuántas libras debería ordenar un cliente para que la tienda C sea una buena opción?