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Lección 10Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Exploremos algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

10.1 La estimación más cercana: raíces cuadradas

¿Cuál estimación es la más cercana al valor real de la expresión? Explica tu razonamiento.

  1. \sqrt{24}

    • 4

    • 4.5

    • 5

  2. \sqrt7

    • 2

    • 2.5

    • 3

  3. \sqrt{42}

    • 6

    • 6.5

    • 7

  4. \sqrt{10} + \sqrt{97}

    • 13

    • 13.25

    • 13.5

10.2 Un atajo

Mai y Tyler estaban parados en una esquina de un gran campo rectangular y decidieron hacer una carrera hasta la esquina opuesta. Como Mai tenía una bicicleta y Tyler no, ellos pensaron que sería justo que Mai montara su bicicleta por la acera que rodea el campo y que Tyler corriera la distancia más corta a través del campo, directamente hacia la otra esquina. El campo tiene 100 metros de largo y 80 metros de ancho. Tyler puede correr a aproximadamente 5 metros por segundo y Mai puede montar su bicicleta a aproximadamente 7.5 metros por segundo.

A rectangle with a horizontal base and vertical height bolded. A dashed line is drawn from the top left vertex to the bottom right vertex.

  1. Antes de realizar algún cálculo, ¿quién crees que ganará?, ¿por cuánto? Explica tu razonamiento.

  2. ¿Quién gana? Muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Puede que sea necesario que uses una calculadora para responder las siguientes preguntas. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

  1. Si pudieras dar al perdedor de la carrera una ventaja inicial, ¿cuánto tiempo necesitaría para que ambas personas lleguen al mismo tiempo?

  2. Si pudieras hacer que el ganador fuera más despacio, ¿qué tan despacio debería ir para que ambas personas lleguen al mismo tiempo?

10.3 Dimensiones internas

Estos son dos prismas rectangulares:

A rectangular prism labeled “K” and a cube labeled “L” are indicated. The rectangular prism has a side with a length of 5 units, a side with length of 4 units, and a vertical height with a length of 6 units. A diagonal is drawn from the bottom left vertex to the top right vertex of the prism. The cube has all side lengths of 5 units. A diagonal is drawn from the bottom left vertex to the top right vertex of the cube.
  1. ¿Cuál figura crees que tiene la diagonal más larga? Ten en cuenta que las figuras no están dibujadas a escala.
  2. Calcula las longitudes de ambas diagonales. ¿Cuál es en realidad más larga?

Resumen de la lección 10

El teorema de Pitágoras se puede usar para resolver cualquier problema que se pueda modelar con un triángulo rectángulo en el que se conocen las longitudes de dos lados y se debe hallar la longitud del otro lado. Por ejemplo, digamos que se va a colocar un cable en un terreno plano para sujetar una torre. El cable mide 17 pies y se debe sujetar a 15 pies de altura en la torre. ¿Qué tan lejos de la parte inferior de la torre se debe sujetar el otro extremo del cable en el suelo?

A menudo es bastante útil hacer un diagrama de una situación, tal como el que se muestra aquí:

A right triangle, with the vertical leg labeled tower has a length of 15 units. The hypotenuse, labeled cable has a length of 17 units. The length of the other leg is horizontal and represented by the letter a.

Se supone que la torre forma un ángulo recto con el suelo. Como este es un triángulo rectángulo, la relación entre sus lados es  a^2+b^2=c^2 , donde c representa la longitud de la hipotenusa y a y b representan las longitudes de los otros dos lados. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Al reemplazar los valores se obtiene  a^2+15^2=17^2 . Al despejar a se obtiene a=8 . Entonces el otro extremo del cable se debe sujetar en el suelo a 8 pies de la parte inferior de la torre.

Problemas de práctica de la lección 10

  1. Un hombre está tratando de proteger su casa de los zombis. Él quiere cortar cierta longitud de una madera para asegurar una puerta contra una pared. La pared está a 4 pies de la puerta y el hombre quiere que la abrazadera esté apoyada en la puerta, a 2 pies de altura. ¿Aproximadamente de qué longitud debe cortar la abrazadera?

  2. En un restaurante, la apertura de un bote de basura es rectangular y mide 7 pulgadas por 9 pulgadas. El restaurante sirve la comida en bandejas que miden 12 pulgadas por 16 pulgadas. Jada dice que es imposible que la bandeja se caiga accidentalmente por el hueco del bote de basura porque el lado más corto de la bandeja es más largo que ambos lados del hueco. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con la explicación de Jada? Explica tu razonamiento.

  3. Selecciona todos los conjuntos que correspondan a las tres longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

    1. 8, 7, 15

    2. 4, 10, \sqrt{84}

    3. \sqrt{8} , 11, \sqrt{129}

    4. \sqrt{1} , 2, \sqrt{3}

  4. Para cada par de números, ¿cuál de los dos números es mayor?, ¿cuántas veces mayor?

    1. 12 \boldcdot 10^9 y 4 \boldcdot 10^9
    2. 1.5 \boldcdot 10^{12} y 3 \boldcdot 10^{12}
    3. 20 \boldcdot 10^4 y 6 \boldcdot 10^5

  5. Una recta contiene al punto (3,5) . Si la recta tiene una pendiente negativa, ¿cuál de estos puntos podría estar también sobre la recta?

    1. (2,0)
    2. (4,7)
    3. (5,4)
    4. (6,5)

  6. Noah y Han se están preparando para un concurso de saltar la cuerda. Noah puede saltar 40 veces en 0.5 minutos. Han puede saltar y veces en x minutos, donde y = 78x . Si ambos saltan durante 2 minutos, ¿quién salta más veces? ¿Cuánto más?