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Lección 4Raíces cuadradas en la recta numérica

Exploremos las raíces cuadradas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar una aproximación decimal de una raíz cuadrada.
  • Puedo ubicar raíces cuadradas en la recta numérica.

4.1 Diagonales

 
  1. ¿Cuál es la longitud exacta del segmento de recta?
  2. Encuentra una aproximación decimal de la longitud.

4.2 Elevemos rectas al cuadrado

  1. Estima la longitud del segmento de recta aproximándola a la décima de unidad más cercana (cada cuadrado de la cuadrícula tiene área 1 unidad cuadrada).
  2. Encuentra la longitud exacta del segmento. 

4.3 Raíz cuadrada de 3

Diego dijo que él piensa que \sqrt{3}\approx 2.5 .

  1. Usa el cuadrado para explicar por qué 2.5 no es una buena aproximación de \sqrt{3} . Encuentra un punto en la recta numérica que esté más cerca de \sqrt{3} . Dibuja un nuevo cuadrado en los ejes y utilízalo para explicar cómo sabes que el punto que ubicaste es una buena aproximación para \sqrt{3} .
  2. Usa el hecho de que \sqrt{3}  es una solución de la ecuación x^2 = 3  para encontrar una aproximación decimal de \sqrt{3}  cuyo cuadrado está entre 2.9 y 3.1.

¿Estás listo para más?

Un agricultor tiene un terreno cubierto de césped encerrado por una cerca en forma de un cuadrado con una longitud de lado de 4 metros. Para convertirlo en un hogar adecuado para algunos animales, el granjero quisiera delimitar un cuadrado más pequeño para llenarlo con agua, como se muestra en la figura.

¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado más pequeño para que la mitad del área sea césped y la mitad agua?

Resumen de la lección 4

Este es un segmento de recta en una cuadrícula. ¿Cuál es la longitud de este segmento de recta? 

A line segment slanted down from left to right. The right endpoint is 1 unit down and 2 units right from the left endpoint.

Dibujar algunos círculos nos permite decir que es más largo que 2 unidades, pero más corto que 3 unidades.    

Two circles that have the same center are drawn on a square grid with radii 2 and 3. A line segment slanted upward and to the left is drawn such that the bottom endpoint is the center of the two circles and is 1 unit down and 2 units right of the top endpoint of the line segment.

Para encontrar un valor exacto de la longitud del segmento, podemos construir un cuadrado sobre él, utilizando el segmento como uno de los lados del cuadrado.    

A square on a grid with side lengths equal to the hypotenuse of triangle with side lengths of 1 and 2 units. The square has an area of 5 square units.

El área de este cuadrado es de 5 unidades cuadradas. (¿Puedes ver por qué?) Eso significa que el valor exacto de la longitud de su lado es \sqrt5  unidades.    

Observa que 5 es mayor que 4, pero menor que 9. Eso significa que \sqrt5  es mayor que 2, pero menor que 3. Esto tiene sentido porque ya vimos que la longitud del segmento está entre 2 y 3.       

Con algo de aritmética, podemos obtener una idea aún más precisa de dónde está \sqrt5  en la recta numérica. La imagen con los círculos muestra que \sqrt5  está más cerca de 2 que de 3, así que busquemos el valor de 2.12 y 2.22 y veamos qué tan cerca están de 5. Resulta que 2.1^2=4.41  y 2.2^2=4.84 , entonces necesitamos probar un número más grande. Si aumentamos nuestra búsqueda en una décima, encontramos que 2.3^2=5.29 . Esto significa que \sqrt5  es mayor que 2.2, pero menor que 2.3. Si quisiéramos seguir adelante, podríamos intentar 2.25^2  y eventualmente limitar el valor de \sqrt5  al lugar de las centésimas. Las calculadoras realizan este mismo proceso con muchos decimales, dando una aproximación como \sqrt5 \approx 2.2360679775 . Aunque se trata de muchas cifras decimales, todavía no es exacto porque \sqrt5  es irracional.

Problemas de práctica de la lección 4

    1. Encuentra la longitud exacta de cada segmento de recta. 
    2. Estima la longitud de cada segmento de recta al aproximarlo a la décima de la unidad más cercana. Explica tu razonamiento. 

  2. Ubica cada número en el eje x : \sqrt{16},\text{ } \sqrt{35},\text{ } \sqrt{66} . Considera utilizar la cuadrícula como ayuda.

  3. Utilice el hecho de que \sqrt{7} es una solución a la ecuación x^2 = 7 para encontrar una aproximación decimal de \sqrt{7}  cuyo cuadrado esté entre 6.9 y 7.1.

  4. El grafito está hecho de capas de grafeno. Cada capa de grafeno tiene aproximadamente 200 picómetros, es decir 200 \times 10^{\text-12} metros, de grosor. ¿Cuantas capas de grafeno hay en un pedazo de grafito de 1.6-mm de grosor? Expresa tu respuesta en notación científica.

  5. Este es un diagrama de dispersión que muestra el número de asistencias y puntos de un grupo de jugadores de hockey. Esta es la gráfica del modelo  y = 1.5 x + 1.2 , junto con el diagrama de dispersión.

    1. ¿Qué significa la pendiente en esta situación?
    2. Con base en el modelo, ¿cuántos puntos marcará un jugador si él tiene 30 asistencias?

  6. Los puntos  (12, 23) y  (14, 45) están sobre una recta. ¿Cuál es la pendiente de la recta?