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Lección 5Razonemos sobre raíces cuadradas

Aproximemos las raíces cuadradas.

Metas de aprendizaje:

  • Cuando tengo una raíz cuadrada, puedo razonar entre cuáles números enteros está.

5.1 Verdadero o falso: elevado al cuadrado

Decide si cada enunciado es verdadero o falso.

\left( \sqrt{5} \right)^2=5

\left(\sqrt{9}\right)^2 = 3

7 = \left(\sqrt{7}\right)^2

\left(\sqrt{10}\right)^2 = 100

\left(\sqrt{16}\right)= 2^2

5.2 Valores de la raíz cuadrada

¿Entre cuáles dos números enteros se encuentra cada raíz cuadrada? Prepárate para explicar tu razonamiento.

  1. \sqrt{7}  
  2. \sqrt{23}  
  3. \sqrt{50}  
  4. \sqrt{98}

¿Estás listo para más?

¿Podemos responder algo mejor que "entre 3 y 4" para \sqrt{12} ? Explica una manera de averiguar si el valor está más cerca de 3.1 o más cerca de 3.9.

5.3 Soluciones en una recta numérica

Los números x , y y z son positivos y  x^2 = 3 , y^2 = 16 y  z^2 = 30 .

A numbre line that shows the integers from negative 3 to 9
  1. Grafiquen  x , y y  z en la recta numérica. Prepárense para compartir su razonamiento con la clase. 
  2. Grafiquen  \text- \sqrt{2} en la recta numérica.

Resumen de la lección 5

En general, podemos aproximar los valores de las raíces cuadradas al observar los números enteros que están a su alrededor y recordar la relación entre las raíces cuadradas y los cuadrados. Estos son algunos ejemplos:

  • \sqrt{65} es un poco más que 8, porque  \sqrt{65} es un poco más que \sqrt{64} y  \sqrt{64}=8 .
  • \sqrt{80} es un poco menos que 9, porque  \sqrt{80} es un poco menos que  \sqrt{81} y  \sqrt{81}=9 .
  • \sqrt{75} esta entre 8 y 9 (es 8 punto algo), porque 75 está entre 64 y 81.
  • \sqrt{75} es aproximadamente 8.67, porque  8.67^2=75.1689 .
A number line with the numbers 8 through 9, in increments of zero point 1, are indicated. The square root of 64 is indicated at 8. The square root of 65 is indicated between 8 and 8 point 1, where the square root of 65 is closer to 8 point 1. The square root of 75 is indicated between 8 point 6 and 8 point 7, the square root of 75 is closer to 8 point 7. The square root of 80 is indicated between 8 point 9 and 9, where the square root of 80 is closer to 8 point 9. The square root of 81 is indicated at 9.

Si queremos encontrar una raíz cuadrada entre dos números enteros, podemos trabajar en la otra dirección. Por ejemplo, dado que 22^2 = 484  y 23^2 = 529 , sabemos que \sqrt{500}  (para elegir una posibilidad) está entre 22 y 23.   

Muchas calculadoras tienen una función de raíz cuadrada, lo que simplifica la búsqueda de un valor aproximado de una raíz cuadrada. 

Problemas de práctica de la lección 5

    1. Explica cómo sabes que \sqrt{37} es un poco más que 6.

    2. Explica cómo sabes que \sqrt{95} es un poco menos que 10.

    3. Explica cómo sabes que \sqrt{30} está entre 5 y 6.

  2. Ubica cada número en la recta numérica: 6, \sqrt{83}, \sqrt{40}, \sqrt{64}, 7.5

    A number line with 6 evenly spaced tick marks and the integers 5 through 10 are indicated.

  3. Marca y rotula en la recta numérica, las posiciones de dos valores de raíces cuadradas que se encuentren entre 7 y 8.

    A number line with two tick marks indicated at each end. The number 7 is labeled on the tick mark on the far left and the number 8 is labeled on the tick mark on the far right.

  4. Selecciona todos los números irracionales de la lista. \frac23, \frac {\text{-}123}{45}, \sqrt{14}, \sqrt{64}, \sqrt\frac91, \text-\sqrt{99}, \text-\sqrt{100}

  5. Cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 unidad cuadrada. ¿Cuál es la longitud exacta del lado del cuadrado sombreado? 

    A square, not aligned to the horizontal or vertical gridlines, is on a square grid. The square is drawn such that the first vertex of the square is on the left side. The second vertex is 2 grid squares up and 3 grid squares right from the first vertex. The third vertex is 3 grid squares down and 2 grid squares right from the second vertex. The fourth vertex is 2 grid squares down and 3 grid squares left from the third vertex. The first vertex is 3 grid squares up and 2 grid squares left from the fourth vertex.

  6. En cada par de números, ¿cuál de los dos números es mayor? Estima cuántas veces mayor.

    1. 0.37 \boldcdot 10^6 y 700 \boldcdot 10^4
    2. 4.87 \boldcdot 10^4 y 15 \boldcdot 10^5
    3. 500,000 y 2.3 \boldcdot 10^8

  7. El diagrama de dispersión muestra las estaturas (en pulgadas) y los porcentajes de cestas de tres puntos de varios jugadores de baloncesto de la temporada pasada.

    1. Marca alguno de los puntos de datos que parezca ser un dato atípico.
    2. Compara los datos atípicos con los valores predichos por el modelo.