Lección 9 La aritmética de las matrices Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Modelar contextos con matrices.

¿Cómo se aplican las operaciones de las matrices en problemas de la vida real?

¿Cómo sabemos cuál de las operaciones es más apropiada para cada contexto?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Muchos clubs no tienen fondos para pagar fiestas y eventos en la cafetería. Por eso, Elvira permite que los miembros de los clubs, y sus padres, se ofrezcan como voluntarios para trabajar por horas. Elvira le abona a cada club una suma de dinero según la cantidad de horas que trabajen. Ellos pueden escoger entre estas tareas: alistar las mesas, fregar los pisos y lavar los platos. Pueden trabajar como voluntarios por horas los días entre semana o los fines de semana. Por los fines de semana se abona más dinero por hora.

En estas matrices, Elvira registró las horas que los voluntarios del club de teatro y del club de ajedrez trabajaron en septiembre:

Club de teatro

$\begin{array}{cc} \begin{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} d \overset{´}{ı} as entre semana & fines de semana \end{matrix} \\ \begin{matrix} mesas \\ pisos \\ platos \end{matrix} & [\begin{matrix} 12 & 4 \\ 8 & 3 \\ 6 & 3 \end{matrix}] \end{array}$

Club de ajedrez

1.

Escribe y resuelve una ecuación de matrices para encontrar el total de horas que los voluntarios trabajaron los días entre semana y los fines de semana en cada tarea.

Los voluntarios del club de teatro se comprometieron a trabajar el mismo número de horas cada mes durante los $9$ meses del año escolar.

2.

Escribe y resuelve una ecuación de matrices que indique el total de horas que los voluntarios del club de teatro trabajaron los días entre semana y los fines de semana en cada tarea durante el año escolar.

Elvira abona más dinero por las horas de los fines de semana que por las de los días entre semana porque es más difícil conseguir voluntarios para los fines de semana. Ella abona $$ 4$ por cada hora trabajada durante los días entre semana y $6$ por cada hora trabajada durante los fines de semana.

3.

Escribe y resuelve una ecuación de matrices para encontrar la cantidad total de dinero que obtuvo el club de ajedrez en septiembre por cada tarea.

4.

Encuentra la suma total de dinero que Elvira les abonó a los dos clubs en total por las horas que los voluntarios trabajaron en septiembre.

Elvira se está volviendo hábil manipulando matrices, pero se da cuenta de que a veces solo necesita un elemento de la matriz suma o de la matriz producto (por ejemplo, el costo los ingredientes en el Mercado del Abuelo en un día específico). Por eso, le gustaría poder calcular un solo resultado sin tener que completar toda la operación de las matrices. En las siguientes operaciones de matrices, calcula los elementos que se te indican y que faltan en la suma o en el producto, sin calcular el resto de los elementos de la matriz suma o de la matriz producto.

5.

$[\begin{matrix} 5 & - 2 & 3 & 6 \\ 7 & 1 & - 4 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 4 & - 3 & 2 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - & - & ◻ & - \\ - & ◻ & - & - \end{matrix}]$

6.

$[\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & - 3 & 4 \\ - 1 & 5 & - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - & ◻ & - \\ ◻ & - & - \\ - & - & ◻ \\ - & - & - \end{matrix}]$

7.

$3 \times [\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & 5 \end{matrix}] - 4 \times [\begin{matrix} 2 & - 3 \\ - 5 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - & ◻ \\ ◻ & - \end{matrix}]$

8.

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & ◻ & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & 3 & ◻ \\ 1 & 2 & 4 \\ ◻ & 3 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & ◻ & 5 \\ 1 & 2 & ◻ \\ 4 & 3 & ◻ \end{matrix}]$

Dadas $A = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$ y $B = [\begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix}]$ :

9.

¿ $A + B = B + A$ ? ¿Es esto cierto para todas las matrices?

10.

¿ $A \times B = B \times A$ ? ¿Es esto cierto para todas las matrices?

¿Listo para más?

En la lección 2, repasaste las propiedades de la suma y la multiplicación de números. Ahora que hemos definido las operaciones de suma y multiplicación de matrices, podemos determinar si estas propiedades de las operaciones se mantienen. Usando ejemplos o tu razonamiento, decide cuál de las propiedades de la suma y de la multiplicación siguen valiendo con las matrices.

Es decir:

a.

¿La suma de matrices es conmutativa? ¿Y la multiplicación de matrices?

b.

¿La suma de matrices es asociativa? ¿Y la multiplicación de matrices?

c.

¿Hay una identidad de la suma para las matrices? ¿Y una identidad de la multiplicación?

d.

¿Toda matriz, excepto la matriz identidad, tiene un inverso aditivo? ¿Y un inverso multiplicativo?

e.

¿La propiedad distributiva vale en las matrices?

Aprendizajes

Cosas en las que tengo que pensar al modelar una situación con matrices:

Resumen de la lección

En esta lección nos concentramos en escribir y resolver ecuaciones de matrices para modelar situaciones, incluidas situaciones en las que se suman matrices, se multiplican matrices, se usa la propiedad distributiva y se amplían los valores de los datos. Descubrimos que las propiedades de las operaciones pueden tener un efecto en cómo escribimos las ecuaciones de matrices, en particular, cuando hay una multiplicación de matrices.

Repaso

Grafica las relaciones dadas.

1.

$y = \frac{1}{2} x - 8$

2.

$x$	$y$
$- 2$	$3$
$0$	$7$
$1$	$9$
$3$	$13$

Evalúa cada una de las expresiones usando estos valores: $x = 3$ , $y = - 2$ y $z = 5$ .

3.

$3 x + 5 y$

4.

$- 2 (x + 5) - y + 2 z$

5.

$\frac{{(x + 2)}^{3}}{x z^{2}}$