Lección 5 Sentido común Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Usar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales.

Resolver sistemas de ecuaciones que contienen funciones exponenciales.

¿Cómo podemos usar los logaritmos y el razonamiento algebraico como ayuda para resolver ecuaciones exponenciales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Ya sabes que nuestro sistema numérico es en base $10$ , entonces cada uno de los distintos valores posicionales de un número es una potencia de $10$ . Eso hace que las funciones exponenciales en base $10$ y las funciones logarítmicas en base $10$ sean muy importantes. Como el logaritmo en base $10$ se usa frecuentemente, se llama el “logaritmo común” y para que la notación sea un poco más corta, por lo general se escribe sin la base. Entonces se usa así:

$\log 10 = 1$ , porque $10^{1} = 10$ .

$\log 100 = 2$ , porque $10^{2} = 100$ .

¿Ves que cuando no hay una base escrita simplemente se asume que la base es $10$ ? ¡Este es el tipo de notación concisa que les encanta a los matemáticos! Cuando uses la tecla “log” de tu calculadora, automáticamente estará en base $10$ . (Hay tecnología que también te permite poner una base distinta para un logaritmo).

Cada una de las siguientes secciones contiene acertijos sobre funciones exponenciales en base $10$ que debes resolver. Vas a usar logaritmos en base $10$ y lo que sabes sobre los exponentes para encontrar valores desconocidos de funciones exponenciales en tablas, gráficas y ecuaciones. Mientras trabajas, busca estrategias que te ayuden a resolver ecuaciones que tienen una variable en el exponente.

Acertijos en tablas

1.

Encuentra los valores desconocidos de $x$ en las tablas.

$x$	$y = 10^{x}$
$- 2$	$\frac{1}{100}$
$1$	$10$
	$50$
	$100$
$3$	$1000$

$x$	$y = 3 (10^{x})$
	$0.3$
$0$	$3$
	$94.87$
$2$	$300$
	$1503.56$

En la primera tabla, cuando el valor de $y$ era $50$ y tratabas de encontrar $x$ , probablemente pensaste en una ecuación como $50 = 10^{x}$ , así no la hayas escrito. ¡Esta es tu oportunidad! Escribe todas las ecuaciones, y sus soluciones, que se usaron en ambas tablas para encontrar los valores desconocidos de $x$ . Yo te di la primera. ¡De nada!

Tabla a: $50 = 10^{x}$

Tabla b:

2.

¿Qué estrategia usaste para encontrar las soluciones de estas ecuaciones cuando completabas las tablas?

Acertijos en gráficas

3.

A continuación se muestra la gráfica de $10^{- x}$ . Usa la gráfica para despejar $x$ en las ecuaciones y marca las soluciones.

a. $10^{- x} = 40$

$x =$

Marca la solución en la gráfica con una $A$ .

b. $10^{- x} = 10$

$x =$

Marca la solución en la gráfica con una $B$ .

c. $10^{- x} = 0.1$

$x =$

Marca la solución en la gráfica con una $C$ .

4.

Examinemos un poco más de cerca las soluciones que obtuviste a partir de la gráfica. Considera esta ecuación:

$10^{- x} = 10$

¿Obtendrías el mismo resultado si tomaras el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación? Inténtalo aquí:

$10^{- x} = 10$

$\log_{10} 10^{- x} = \log_{10} 10$

Continúa reescribiendo ambos lados y usando las propiedades de los logaritmos.

5.

Intentémoslo otra vez con $10^{- x} = 0.1$ . Comienza por tomar el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación, luego escribe expresiones equivalentes y comprueba tu respuesta con la gráfica.

$10^{- x} = 0.1$

6.

¿Por qué obtienes el mismo valor con este proceso y con la gráfica?

7.

Una de las ecuaciones que escribiste en los acertijos en tablas fue: $94.87 = 3 (10^{x})$ .

¿Cómo podrías desenredar esta ecuación usando operaciones básicas y logaritmos? Muestra tus pasos aquí.

Ahora estás listo para los acertijos en ecuaciones. ¡Vamos!

Acertijos en ecuaciones

Despeja $x$ en cada ecuación.

8.

$10^{x} = 10, 000$

9.

$125 = 10^{x}$

10.

$10^{x + 2} = 347$

11.

$5 (10^{x + 2}) = 0.25$

12.

$10^{- x - 1} = \frac{1}{36}$

13.

$- (10^{x + 2}) = 16$

Acertijos combinados

Escoge cualquier método para resolverlos.

14.

${\begin{matrix} y = 10^{x} \\ y = 100 \end{matrix}$

15.

${\begin{matrix} \begin{aligned} y = 10^{x} - 50 \\ y = 25 \end{aligned} \end{matrix}$

16.

${\begin{matrix} y = 10^{- x} \\ y = x + 5 \end{matrix}$

¿Listo para más?

Resuelve la ecuación $2^{x - 1} = 30$ usando dos métodos:

Método 1: Usa un logaritmo en base $2$ para encontrar una expresión exacta que represente la solución.

Método 2: Usa un logaritmo en base $10$ para encontrar un valor aproximado de la solución.

Aprendizajes

Estrategias para resolver ecuaciones exponenciales y sistemas de ecuaciones exponenciales:

Vocabulario

logaritmo común
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección encontramos soluciones de ecuaciones exponenciales en base $10$ usando logaritmos en base $10$ para deshacer la ecuación. Usamos tablas y gráficas como ayuda para determinar si las soluciones que encontramos son razonables. Resolvimos sistemas de ecuaciones de dos maneras: encontrando la intersección de las gráficas y encontrando el valor que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.

Repaso

1.

Se muestran las gráficas de $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = 2^{- x}$ (ambas con dominios restringidos) en el mismo plano de coordenadas.

a.

Haz una lista de las características de la función $f (x)$ .

b.

Haz una lista de las características de $g (x)$ .

2.

Usa la división larga para calcular $(1,568 \div 13)$ . Muestra todos los pasos.

Escribe tu respuesta como un cociente y un residuo.