Lección 6 El problema compuesto Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Entender cómo distintos factores afectan la cantidad de dinero ganado con un interés compuesto.

Determinar las características de una nueva función: $f (x) = e^{x}$ .

¿Qué factor hace la mayor diferencia en la cantidad de dinero ganado en una cuenta de ahorros: la tasa de interés, el número de períodos de capitalización por año o el número de años que dura la inversión?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Parte I: Eres un joven matemático con iniciativa, por eso sabes que tus amplios conocimientos sobre matemáticas te van a ayudar a tomar mejores decisiones acerca de todo tipo de cosas en tu vida. Un área importante es el dinero $$$. Así que has estado contemplando el mundo y te has preguntado cómo podrías maximizar el dinero que ganas en tu cuenta de ahorros.

Eres joven y aún no has ahorrado mucho dinero. De hecho, solamente tienes $100, pero en realidad quieres sacarle el mejor provecho a ese dinero. Te gusta la idea del interés compuesto, lo que significa que el banco te paga intereses sobre todo el dinero que tienes en tu cuenta de ahorros, incluyendo cualquier interés que te haya pagado antes. Parece ser un buen negocio. Incluso recuerdas que la fórmula para el interés compuesto es exponencial. Veamos, es esta:

$A = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t}$ Donde $A$ = la cantidad de dinero que hay en la cuenta en cualquier tiempo $t$

$P$ = la cantidad principal o inicial invertida en la cuenta

$r$ = la tasa de interés anual

$n$ = el número de períodos de capitalización en cada año

$t$ = el número de años

1.

Si tu cuenta de ahorros te da un generoso $5 %$ por año y se capitaliza únicamente una vez cada año, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta al final del año $1$ ?

2.

¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de $20$ años?

Parece que entre más períodos de capitalización haya en el año, más dinero deberías ganar. La pregunta es, ¿hace una diferencia grande?

3.

Compara la cantidad de dinero que tendrías después de $20$ años si se capitaliza $2$ veces cada año (semestralmente), $4$ veces por año (trimestralmente), $12$ veces por año (mensualmente), $365$ veces por año (diariamente) y luego cada hora. Encuentra una manera de organizar tus resultados para mostrarlos y explicarlos a la clase.

Resulta que el valor que encontraste en el problema de capitalización es 100 veces un número irracional que es muy famoso, llamado $e$ . Como $e$ es irracional, es un número decimal que no se termina ni se repite, como $π$ . Los primeros dígitos de $e$ son 2.7182818284590452353602874713527. Al igual que $π$ , $e$ es un número que aparece en muchas situaciones de la vida real, entre ellas el crecimiento exponencial. Una de las fórmulas en las que se usa $e$ se obtiene a partir de lo que acabas de pensar sobre el interés compuesto. Se puede demostrar que la cantidad de dinero $A$ que hay en una cuenta de ahorros cuando el dinero se capitaliza continuamente está dada por:

$A = P e^{r t}$ $P$ = la cantidad inicial u original invertida en la cuenta

$r$ = la tasa de interés anual

$t$ = el número de años

4.

Es bastante común que en las cuentas de ahorros los intereses se capitalicen mensualmente. Si en dos cuentas de ahorros hay la misma inversión inicial de $$ 500$ , las cuentas tienen una tasa de interés del $3 %$ , pero en la primera cuenta la capitalización es mensual y en la segunda es continua, compara la cantidad de dinero que habrá en las dos cuentas después de $10$ años.

5.

Usa tecnología para comparar las gráficas de las dos cuentas. ¿Qué conclusiones puedes sacar sobre el efecto que tiene cambiar el número de períodos de capitalización de una cuenta de ahorros?

Parte II

Como $e$ se usa con frecuencia para modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial en muchos contextos, vamos a familiarizarnos un poco más con la función exponencial en base $e$ :

$f (x) = e^{x}$

6.

Haz una predicción acerca de la gráfica de $f (x)$ . Explica cuáles conocimientos anteriores usaste para hacer tu predicción.

7.

Crea una tabla y una gráfica. Después, describe las características matemáticas de $f (x)$ .

¿Listo para más?

Si pudieras invertir $$ 100$ a una tasa de interés del $5 %$ capitalizado trimestralmente, ¿cuál de estos cambios tendría el mayor efecto en la cantidad de dinero ganado después de $20$ años?

a.

Cambiar el número de períodos de capitalización de trimestralmente a diariamente.

b.

Cambiar la tasa de interés del $5 %$ al $5.5 %$ .

c.

Cambiar la cantidad de dinero invertido a $$ 150$ .

Aprendizajes

Características de $f (x) = e^{x}$ :

Notación, convenciones y vocabulario

$e \approx$

$e$ es

Vocabulario

ecuación explícita
ecuación recursiva
interés compuesto continuo
número irracional
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos los efectos de cambiar el número de períodos de capitalización en una inversión que gana un interés compuesto. Durante esta exploración descubrimos el número $e$ , un número irracional que aparece en muchos contextos de crecimiento y decaimiento exponencial. Investigamos la función $f (x) = e^{x}$ , identificamos sus características y nos dimos cuenta de que el comportamiento de esta función es muy similar al de $y = 2^{x}$ , una función con la que tenemos mucha experiencia.

Repaso

1.

Usa la primera y la segunda diferencia para identificar el tipo de función que está representada por el patrón en cada tabla. Si el patrón que está en la tabla es lineal, escribe la ecuación explícita y la ecuación recursiva. Si el patrón es cuadrático, escribe solamente la ecuación recursiva.

a.

Tabla 1:

$n$	$f (n)$
$0$	$4$
$1$	$6$
$2$	$8$
$3$	$10$
$4$	$12$

b.

Tabla 2:

$n$	$g (n)$
$0$	$2$
$1$	$8$
$2$	$16$
$3$	$26$
$4$	$38$

2.

Completa los espacios en blanco usando lo que sabes sobre los logaritmos.

Sé que $\log_{7} 343 = 3$ y que $\log_{9} 81 = 2$ , porque $343 =$ y $81 =$ . Si el argumento del logaritmo es la base elevada a una potencia, entonces el valor de $\log_{b} b^{a}$ es .