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Lección 15Más desarrollos planos, más área de superficie

Dibujemos desarrollos planos y hallemos el área de superficie de algunos poliedros.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo calcular el área de la superficie de prismas y pirámides.
  • Puedo dibujar los desarrollos planos de prismas y pirámides.

15.1 Observa y pregúntate: papel para envolver

Kiran está envolviendo esta caja de tarjetas deportivas para regalársela a un amigo. 

A prism with base length labeled 4 inches and base width labeled 2.5 inches.

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas? 

15.2 Construcción de prismas y pirámides

El profesor te dará una imagen de un poliedro. Tú vas a dibujar su desarrollo plano y a calcular su área de superficie. 

  1. ¿Qué poliedro tienes? 

  2. Estudia tu poliedro. Luego dibuja su desarrollo plano en el papel cuadriculado. Usa la medida del lado de un cuadrado de la cuadrícula como unidad. 

  3. Etiqueta cada polígono en el desarrollo plano con un nombre o un número. 

  4. Halla el área de superficie de tu poliedro. Muestra tu razonamiento de forma organizada para que pueda ser entendido por los demás. 

Cuando termines, haz una pausa para que tu profesor te dé más instrucciones. 

15.3 Comparemos cajas

Estos son los desarrollos planos de tres cajas de cartón que son prismas rectangulares. Las cajas serán rellenadas con cubos de 1 centímetro. Todas las longitudes están en centímetros.

Three nets labeled A--C.
  1. Compara las áreas de superficie de las cajas. ¿Cuál caja usará la menor cantidad de cartón? Muestra tu razonamiento.
  2. Ahora compara los volúmenes de estas cajas en centímetros cúbicos. ¿Cuál caja podrá ser rellenada con el mayor número de cubos de 1 centímetro? Muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

La Figura C muestra el desarrollo plano de un cubo. Dibuja un desarrollo plano diferente de un cubo. Dibuja otro y luego otro. ¿Cuántos desarrollos planos diferentes se pueden dibujar para generar un cubo?

Resumen de la lección 15

El área de superficie de un poliedro es la suma de las áreas de todas las caras. 

Como un desarrollo plano nos muestra todas las caras de un poliedro al mismo tiempo, este nos puede ayudar a hallar el área de superficie. Podemos hallar las áreas de todos los polígonos que hay en el desarrollo plano y sumarlas. 

A square pyramid with a base of side length 6 and triangles of height 5.
A net with a square of side length 6 surrounded by triangles of height 5.

Una pirámide cuadrada tiene una cara cuadrada y cuatro caras triangulares. Su área de superficie es la suma de las áreas de la base cuadrada y las cuatro caras triangulares: (6\boldcdot 6) + 4\boldcdot \left(\frac12 \boldcdot 5 \boldcdot 6\right) = 96 El área de superficie de esta pirámide cuadrada es 96 unidades cuadradas.

Problemas de práctica de la lección 15

  1. Jada dibujó un desarrollo plano de un poliedro y calculó su área de superficie. 

    1. ¿Qué poliedro se puede armar con este desarrollo plano? 
    2. Jada cometió algunos errores al calcular el área. ¿Cuáles fueron los errores? 

    1. Encuentra el área de superficie del poliedro. Muestra tu razonamiento. 

  2. Una caja de cereal mide 8 pulgadas por 2 pulgadas por 12 pulgadas. ¿Cuál es su área de superficie? Muestra tu razonamiento. Si tienes dificultades, considera dibujar un bosquejo de la caja o su desarrollo plano y etiquetar los lados con sus medidas. 

  3. Doce cubos se han apilado para hacer esta figura.

    1. ¿Cuál es su área de superficie?
    2. ¿Cómo cambiaría el área de superficie si se quitan los dos cubos superiores?

  4. Estos son dos poliedros y sus desarrollos planos. Etiqueta todas las aristas del desarrollo plano con las longitudes correctas.

    Two polyhedra labeled A and B. Polyhedron A has sides labeled 5, 4, and 10. Polyhedron B has sides labeled 4, 10, 13, 13, and 13.
    1. ¿Qué figura tridimensional se puede armar con este desarrollo plano? 
    1. ¿Cuál es el área de superficie de la figura? (Un cuadrado de la cuadrícula es 1 unidad cuadrada).