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Lección 7Las razones equivalentes tienen las mismas tasas unitarias

Repasemos las razones equivalentes.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo dar un ejemplo de dos razones equivalentes y mostrar que tienen las mismas tasas unitarias.
  • Puedo multiplicar por o dividir entre la tasa unitaria para calcular valores que hacen falta en una tabla de razones equivalentes.

7.1 Cuál es diferente: comparemos rapideces

¿Cuál es diferente? Prepárate para explicar tu razonamiento. 

  1. 5 millas en 15 minutos
  2. 3 minutos por cada milla
  1. 20 millas por cada hora
  2. 32 kilómetros por cada hora

7.2 El precio de los burritos

  1. Dos burritos cuestan $14.00. Completa la tabla con el costo de 4, 5 y 10 burritos a esa tasa. Luego halla el costo de un solo burrito en cada caso.
    número de burritos costo en
    dólares    		 precio unitario
    (dólares por cada burrito)
    2 14.00
    4
    5
    10
    b

    2. ¿Qué observas sobre los valores en esta tabla?

  1. Noah compró b burritos y pagó c dólares. Lin compró el doble de burritos que Noah y pagó el doble. ¿Cuánto pagó Lin por cada burrito?
    número de
    burritos    		 costo en
    dólares    		 precio unitario
    (dólares por cada burrito)
    Noah b c \frac{c}{b}
    Lin 2 \boldcdot b 2 \boldcdot c

  2. Explica por qué, si puedes comprar b burritos con c dólares o comprar 2\cdot b burritos con 2\cdot c dólares, el costo por cada artículo es el mismo en cualquier caso.

7.3 Hagamos de pulseras

  1. Completa la tabla. Luego explica la estrategia que utilizaste para hacerlo.
    tiempo en horas número de pulseras rapidez (pulseras por cada hora)
    2 6
    5 6
    7 6
    66 6
    100 6
    “Leather Lanyard Bracelet” por Maegan Tintari vía Flickr. CC BY 2.0.
  2. Esta es una tabla de una actividad anterior que se ha llenado parcialmente. Utiliza la misma estrategia que usaste en el problema de las pulseras para completar esta tabla.
    número de
    burritos    		 costo en
    dólares    		 precio unitario
    (dólares por cada burrito)
    14.00 7.00
    28.00 7.00
    5 7.00
    10 7.00
  3. Ahora, compara tus resultados con los de la primera tabla en la actividad anterior. ¿Concuerdan? Explica por qué sí o por qué no. 

7.4 ¿Cuánto puré de manzana?

Se necesitan 4 libras de manzanas para preparar 6 tazas de puré de manzana.

  1. Indica cuánto puré de manzana puedes preparar a esta tasa con:

    1. 7 libras de manzanas
    2. 10 libras de manzanas

  2. Indica cuántas libras de manzanas se necesitan para preparar:

    1. 9 tazas de puré de manzana
    2. 20 tazas de puré de manzana
libras de manzana tazas de puré de manzana
4 6
7
10
9
20

¿Estás listo para más?

  1. Jada se come 2 bolas de helado en 5 minutos. Noah se come 3 bolas de helado en 5 minutos. Si continúan comiendo helado a la misma tasa que lo hacen individualmente, ¿cuánto se demoran en comer 1 bola de helado juntos?
  2. La manguera del jardín de la casa de Andre puede llenar un balde de 5 galones en 2 minutos. La manguera de la casa de su vecino puede llenar un balde de 10 galones en 8 minutos. Si utilizan ambas mangueras al mismo tiempo y éstas continúan arrojando agua a la misma tasa, ¿cuánto tardarán en llenar una piscina de 750 galones?

Resumen de la lección 7

La siguiente tabla muestra diferentes cantidades de manzanas que se venden a la misma tasa, lo que significa que todas las razones en la tabla son equivalentes. En cada caso, podemos hallar el precio unitario en dólares por cada libra dividiendo el precio entre el número de libras.

manzanas (libras) precio (dólares) precio unitario  (dólares por cada libra)
4 10 10 \div 4 = 2.50
8 20 20 \div 8 = 2.50
20 50 50 \div 20 = 2.50

El precio unitario siempre es el mismo. Así compremos 4 libras de manzanas por cada 10 dólares o 8 libras de manzanas por cada 20 dólares, las manzanas cuestan 2.50 dólares por cada libra.   

También podemos hallar el número de libras de manzanas que podemos comprar por cada dólar dividiendo el número de libras entre el precio. 

manzanas (libras) precio (dólares) libras por cada dólar
4 10 4 \div 10 = 0.4
8 20 8 \div 20 = 0.4
20 50 20 \div 50 = 0.4

¡El número de libras que podemos comprar por un dólar también es el mismo! Así compremos 4 libras de manzanas por 10 dólares o 8 libras de manzanas por 20 dólares, por cada dólar obtenemos 0.4 libras de manzanas. 

Esto es cierto en todos los contextos: cuando dos razones son equivalentes, las dos tasas unitarias siempre serán iguales. 

cantidad x cantidad y tasa unitaria 1 tasa unitaria 2
a b \frac{a}{b} \frac{b}{a}
s \boldcdot a s \boldcdot b \frac{s \boldcdot a}{s \boldcdot b} = \frac{a}{b} \frac{s \boldcdot b}{s \boldcdot a} = \frac{b}{a}

Problemas de práctica de la lección 7

  1. Un automóvil recorre 55 millas por hora durante 2 horas. Completa la tabla.

    tiempo (horas) distancia (millas) millas por hora
    1 55 55
    \frac12
    1\frac12
    110

  2. La tabla muestra las cantidades de cebollas y tomates en tandas de diferentes tamaños de una receta de salsa.

    Elena observa que, si toma el número en la columna de los tomates y lo divide entre el número correspondiente en la columna de las cebollas, obtiene siempre el mismo resultado.

    ¿Cuál es el significado del número que Elena calculó?

    cebollas (onzas) tomates (onzas)
    2 16
    4 32
    6 48
  3. Un restaurante ofrece 2 promociones: 10 burritos por $12 o 6 burritos por $7.50. Noah necesita 60 burritos para su fiesta. ¿Debería comprar 6 órdenes de la promoción de 10 burritos o 10 órdenes de la promoción de 6 burritos? Explica tu razonamiento.

  4. Completa la tabla de forma que el costo por cada banano permanezca igual.

    número de
    bananos    		 costo en
    dólares    		 precio unitario
    (dólares por banano)
    4 0.50
    6 0.50
    7 0.50
    10 0.50
    10.00 0.50
    16.50 0.50

  5. Dos aviones viajan a una rapidez constante. El avión A viaja 2,800 millas en 5 horas. El avión B viaja 3,885 millas en 7 horas. ¿Cuál avión es más rápido? Explica tu razonamiento.

  6. Un automóvil tiene 15 galones de gasolina en su tanque. El automóvil recorre 35 millas por cada galón de gasolina. Usa \frac{1}{35} de galón de gasolina para andar 1 milla.

    1. ¿Cuánto puede recorrer con 15 galones? Muestra tu razonamiento.
    1. ¿Cuánta gasolina usa para andar 100 millas? Muestra tu razonamiento.

  7. Una caja de cereal pesa 600 gramos. ¿Cuánto es su peso en libras? Explica o muestra tu razonamiento (nota: 1 kilogramo = 2.2 libras).