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Lección 8¿Cuánto hay en cada grupo? (Parte 1)

Estudiemos problemas de división que nos ayuden a encontrar el tamaño de un grupo.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo reconocer cuando una pregunta pide la cantidad que hay en un grupo.
  • Puedo usar diagramas y ecuaciones de multiplicación y división para representar y contestar preguntas tipo "¿Cuánto hay en cada grupo?".

8.1 Inventar una situación

  1. Piensa en una situación que tenga una pregunta que se pueda representar con 12 \div \frac23 = \,? . Escribe una descripción de la situación y la pregunta.
  2. Intercambia descripciones con tu compañero y contesta su pregunta.

8.2 ¿Cuánto hay en una tanda?

Para hacer 5 tandas de galletas, se requieren 10 tazas de harina. ¿Cuántas tazas de harina requiere cada tanda?

Podemos escribir ecuaciones y dibujar un diagrama para representar esta situación. Esto nos ayuda a ver que cada tanda requiere 2 tazas de harina.

5\, \boldcdot {?} = 10 10 \div 5 = {?}

A tape diagram of 5 equal parts with each part labeled with a question mark. Above the diagram is a brace labeled “10 cups," and contains all 5 parts. Underneath the diagram, 5 braces are indicated where each brace conatins 1 equal part. The first of the braces underneath the diagram is labeled “1 batch.”

Para cada pregunta, escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división, dibuja un diagrama y responde la pregunta.

  1. Para hacer 4 tandas de cupcakes, se necesitan 6 tazas de harina. ¿Cuántas tazas de harina se necesitan para 1 tanda?
  2. Para hacer  \frac12 tanda de rollos, se necesitan  \frac54 tazas de harina. ¿Cuántas tazas de harina se necesitan para 1 tanda?
  3. Dos tazas de harina hacen \frac23 de tanda de pan. ¿Cuántas tazas de harina hacen 1 tanda?

8.3 Un recipiente y un tramo de autopista

Estos son tres diagramas de cinta y tres descripciones de situaciones que incluyen preguntas.

Empareja cada diagrama con una situación, luego usa el diagrama para ayudarte a responder la pregunta. Después, escribe una ecuación de multiplicación y una de división para representar cada situación.

  1. Tyler vertió 15 tazas de agua en 2 botellas del mismo tamaño y llenó cada una. ¿Cuánta agua había en cada botella?

    Diagrama:

    Respuesta: 

    Ecuación de multiplicación:

    Ecuación de división:

  2. Kiran vertió 15 tazas de agua en jarras del mismo tamaño y llenó  1\frac12 jarras. ¿Cuánta agua había en la jarra completa?

    Diagrama:

    Respuesta:

    Ecuación de multiplicación:

    Ecuación de división:

  3. Se necesitan 15 tazas de agua para llenar  \frac13 de cubeta. ¿Cuánta agua se necesita para llenar 1 cubeta?

    Diagrama:

    Respuesta:

    Ecuación de multiplicación:

    Ecuación de división:

Estos son otros tres diagramas y situaciones. Empareja cada diagrama con una situación y usa el diagrama para ayudarte a contestar la pregunta. Después, escribe una ecuación de multiplicación y una de división para representar cada situación.

  1. La clase de Priya adoptó dos tramos iguales de autopista para mantener limpias. Su longitud combinada es de  \frac34 de milla. ¿Qué tan largo es cada tramo?

    Diagrama:

    Respuesta:

    Ecuación de multiplicación:

    Ecuación de división:

  2. La clase de Lin también adoptó algunos tramos de autopista para mantener limpias. Si 1\frac12 tramos miden  \frac34 de milla de largo, ¿qué tan largo es cada tramo?

    Diagrama:

    Respuesta:

    Ecuación de multiplicación:

    Ecuación de división:

  3. Una escuela adoptó un tramo de autopista para mantener limpia. Si \frac13 del tramo mide  \frac34 de milla de largo, ¿qué tan largo es el tramo?

    Diagrama:

    Respuesta:

    Ecuación de multiplicación:

    Ecuación de división:

¿Estás listo para más?

Para hacer un conjunto ternario de Cantor:

  • Empieza con un diagrama de cinta de 1 unidad de longitud. Este es el paso 1.
  • Colorea el tercio de la mitad de la cinta. Este es el paso 2.
  • Haz lo mismo con cada uno de los segmentos restantes que no se han coloreado. Este es el paso 3.
  • Continúa repitiendo el proceso.
  1. ¿Cuánto del diagrama está coloreado después del paso 2?, ¿del paso 3?, ¿del paso 10?
  2. Si continúas con este proceso, ¿cuánto del diagrama vas a colorear?
  3. ¿Puedes construir un proceso que tenga como resultado un tipo similar de objeto? Por ejemplo, colorear el primer quinto en lugar del tercio de la mitad de cada franja.

Resumen de la lección 8

Algunas veces conocemos la cantidad que hay en varios grupos, pero no sabemos cuánto hay en un grupo. Podemos usar la división para averiguarlo.

Por ejemplo: si 5 personas comparten  8 \frac12 libras de cerezas de manera equitativa, ¿cuántas libras de cerezas le corresponden a cada persona?

Podemos representar esta situación como una multiplicación y como una división: 5\, \boldcdot {?} = 8\frac12 8 \frac12 \div 5 = {?}

8\frac12 \div 5 se puede escribir como  \frac{17}{2}  \div 5 . Dividir entre 5 es equivalente a multiplicar por  \frac 15 , y \frac{17}{2}  \boldcdot \frac {1}{5} =\frac {17}{10} . Esto significa que a cada persona le corresponden  1\frac {7}{10} libras.

Otras veces, conocemos la cantidad que hay en una fracción de un grupo, pero no conocemos el tamaño de un grupo completo. También podemos usar la división para averiguarlo.

Por ejemplo: Jada vertió 5 tazas de té helado en una jarra y llenó \frac 23 de la jarra. ¿Cuántas tazas de té helado llenan la jarra completamente?

Podemos representar esta situación como una multiplicación y como una división: \frac 23 \boldcdot {?} = 5 5 \div \frac23 = {?}

El diagrama nos puede ayudar a razonar sobre la respuesta. Si  \frac23 de una jarra son 5 tazas, entonces \frac 13 de una jarra es la mitad de 5, que es  \frac52 . Como hay 3 tercios en 1 unidad, habría  (3 \boldcdot \frac52) o  \frac{15}{2} tazas en una jarra completa. Podemos verificar nuestra respuesta multiplicando: \frac23 \boldcdot \frac {15}{2} = \frac {30}{6} , y  \frac {30}{6} = 5 .

Observa que en el primer ejemplo el número de grupos es mayor que 1 (5 personas) y en el segundo el número de grupos es menor que 1 ( \frac 23 de una jarra), pero las ecuaciones de división y multiplicación para ambos tienen la misma estructura.

Problemas de práctica de la lección 8

  1. En cada escenario, utiliza el diagrama de cinta dado para ayudarte a responder la pregunta. Realiza anotaciones y etiqueta los diagramas según sea necesario.

    1. Mai seleccionó 1 taza de fresas para un pastel, lo cual es suficiente para \frac34 del pastel. ¿Cuántas tazas necesita para todo el pastel?

      A tape diagram of four equal parts. A brace is drawn from the beginning of the first equal part to the end of the third part.

    2. Priya seleccionó 1\frac12 tazas de frambuesas, lo cual es suficiente para \frac34 de un pastel. ¿Cuántas tazas necesita para todo el pastel?

  2. Tyler pintó \frac92 yardas cuadradas del área de una pared con 3 galones de pintura. ¿Cuántos galones de pintura se necesitan para pintar cada yarda cuadrada de pared?

    1. Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para representar la situación.

    2. Dibuja un diagrama para representar la situación y para responder la pregunta.

  3. Después de caminar  \frac 14 milla desde su casa, Han está a \frac 13 del camino hacia la escuela. ¿Cuál es la distancia entre su casa y la escuela?

    1. Escribe ecuaciones de multiplicación y división para representar esta situación.

    2. Utiliza el diagrama dado para ayudarte a responder la pregunta. Realiza anotaciones y etiqueta según sea necesario.

      A tape diagram of three equal parts. A brace is drawn from the beginning of the first equal part to the end of that part.

  4. Esta es una ecuación de división: \frac45 \div \frac23 = {?}

    1. Escribe una ecuación de multiplicación que corresponda a la ecuación de división.

    2. Dibuja un diagrama para representar y responder la pregunta.

  5. Una colección de libros, en la que cada uno mide 1.5 pulgadas de ancho, se está organizando en una repisa que mide 36 pulgadas de ancho. ¿Cuántos libros pueden caber en la repisa?

    1. Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para representar esta pregunta.
    1. Encuentra la respuesta. Dibuja un diagrama, si se necesita.
    1. Usa la ecuación de multiplicación para comprobar tu respuesta.
    1. Sin calcular, ordena las expresiones basándote en sus valores, de menor a mayor.

      56\div8

      56\div8,\!000,\!000

      56\div 0.000008

    2. Explica cómo decidiste el orden de las tres expresiones.
    3. Encuentra un número n tal que  56\div n sea mayor que 1 pero menor que 7.