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Lección 14Evaluar expresiones que tienen exponentes

Hallemos los valores de expresiones que tienen exponentes.

Metas de aprendizaje:

  • Sé cómo evaluar expresiones que tienen un exponente y una multiplicación o división.
  • Sé cómo evaluar expresiones que tienen un exponente y una suma o resta.

14.1 Repasemos el cubo

Basados en la información dada, ¿qué otras medidas del cuadrado y del cubo podemos hallar? 

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14.2 Calcular área de superficie

La longitud de los lados de un cubo es 10 pulgadas. Jada dice que el área de superficie del cubo es 600 in2 y Noah dice que el área de superficie del cubo es 3,600 in2. Así fue como razonó cada uno:

Método de Jada:

6 \boldcdot 10^2
6 \boldcdot 100
600

Método de Noah:

6 \boldcdot 10^2
60^2
3,\!600

¿Estás de acuerdo con alguno de los dos? Explica tu razonamiento.

14.3 Explosión de expresiones

Evalúa las expresiones de una de las columnas. Tu pareja va a trabajar en la otra columna. Después de terminar cada fila verifica con tu pareja. Las respuestas de ambos en cada fila deben ser iguales. Si sus respuestas no son las mismas, trabajen juntos para encontrar el error.

5^2+4

2^4 \boldcdot 5

3 \boldcdot 4^2

20+2^3

9 \boldcdot 2^1

\frac19 \boldcdot \left( \frac12 \right)^3

2^2+25

2^3 \boldcdot 10

12 \boldcdot 2^2

1+3^3

3 \boldcdot 6^1

\frac18 \boldcdot \left( \frac13 \right)^2

¿Estás listo para más?

  1. Considera esta ecuación: \boxed{\phantom{3}}^2+\boxed{\phantom{3}}^2=\boxed{\phantom{3}}^2 . Un ejemplo de 3 números enteros que podrían ir en los recuadros son 3, 4 y 5, ya que  3^2+4^2=5^2 (Esto es, 9+16=25 ). ¿Puedes hallar un conjunto diferente de 3 números enteros diferentes que hagan la ecuación verdadera?
  2. ¿Cuántos conjuntos de 3 números enteros diferentes puedes hallar?
  3. ¿Puedes hallar un conjunto de 3 números enteros diferentes que hagan esta ecuación verdadera? \boxed{\phantom{3}}^3+\boxed{\phantom{3}}^3=\boxed{\phantom{3}}^3
  4. ¿Qué tal esta?  \boxed{\phantom{3}}^4+\boxed{\phantom{3}}^4=\boxed{\phantom{3}}^4
  5. Una vez que hayas trabajado en esto durante un rato, podrás entender un problema famoso de la historia de las matemáticas. (Desafortunadamente, este espacio es muy pequeño para incluirlo). Si estás interesado, considera investigar más acerca del Último teorema de Fermat. 

Resumen de la lección 14

Los exponentes nos presentan una nueva forma de describir las operaciones numéricas, así que debemos entender cómo se comportan los exponentes con las otras operaciones que conocemos.

Cuando escribimos 6 \boldcdot 4^2 , queremos asegurarnos de que todos estamos de acuerdo en cómo evaluar esto. De lo contrario, algunas personas podrían multiplicar primero y otras evaluar primero el exponente, ¡de modo que diferentes personas obtendrían valores diferentes para la misma expresión!

Anteriormente vimos situaciones en las que 6 \boldcdot 4^2 representaba el área de superficie de un cubo que tenía lados de 4 unidades de longitud. Cuando calculamos el área de superficie, primero evaluamos 4^2  (es decir, primero hallamos el área de una de las caras del cubo) y luego multiplicamos el resultado por 6. En muchas otras expresiones que utilizan exponentes, se tiene la intención de que la parte que tiene el exponente sea la primera en evaluarse.

Para que todos estemos de acuerdo sobre el valor de expresiones como  6 \boldcdot 4^2 , la convención es evaluar primero la parte de la expresión que tiene el exponente. Estos son un par de ejemplos:

\begin {align} &\;6 \boldcdot 4^2\\ &= 6 \boldcdot 16\\&= 96 \end {align}

\begin {align} &\;45 + 5^2\\ &= 45 + 25\\&= 70 \end {align}

Si queremos comunicar que 6 y 4 se deben multiplicar primero y luego elevar al cuadrado, entonces podemos usar un paréntesis para agrupar las partes:

\begin {align} &\;(6 \boldcdot 4)^2\\ &= 24^2\\&= 576 \end {align}

Problemas de práctica de la lección 14

  1. Lin dice: “Tomé el número 8 y lo multipliqué por el cuadrado de 3". Selecciona todas las expresiones que sean iguales a la respuesta de Lin.

    1. 8 \boldcdot 3^2
    2. (8 \boldcdot 3)^2
    3. 8 \boldcdot 2^3
    4. 3^2 \boldcdot 8
    5. 24^2
    6. 72

  2. Evalúa cada expresión.

    1. 7 + 2^3
    2. 9 \boldcdot 3^1
    3. 20 - 2^4
    1. 2 \boldcdot 6^2
    2. 8 \boldcdot (\frac{1}{2})^2
    1. \frac{1}{3} \boldcdot 3^3
    2. (\frac{1}{5} \boldcdot 5)^5

  3. Andre dice: "Multipliqué 4 por 5 y luego elevé al cubo el resultado". Selecciona todas las expresiones que sean iguales a la respuesta de Andre.

    1. 4 \boldcdot 5^3
    2. (4 \boldcdot 5)^3
    3. (4 \boldcdot 5)^2
    4. 5^3 \boldcdot 4
    5. 20^3
    6. 500
    7. 8,000

  4. Han tiene 10 cubos, cada uno con lados de 5 pulgadas.

    1. Encuentra el volumen total de los cubos de Han. Expresa tu respuesta como una expresión que utilice un exponente.
    2. Encuentra el área de superficie total de los cubos de Han. Expresa tu respuesta como una expresión que utilice un exponente.

  5. Priya dice que \frac{1}{3} \boldcdot \frac{1}{3} \boldcdot \frac{1}{3} \boldcdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} . ¿Estás de acuerdo con Priya? Explica o muestra tu razonamiento.

  6. Responde cada pregunta. Muestra tu razonamiento.

    1. El 125% de e es 30. ¿Cuánto vale  e ?
    1. El 35% de  f es 14. ¿Cuánto vale  f ?

  7. ¿Cuáles expresiones son soluciones de la ecuación  2.4y = 13.75 ? Selecciona todas las que apliquen.

    1. 13.75 - 1.4
    2. 13.75 \boldcdot 2.4
    3. 13.75 \div 2.4
    4. \frac{13.75}{2.4}
    5. 2.4 \div 13.75

  8. Jada está explicando cómo halla 15 \boldcdot 23 :

    “Yo sé que diez 23 equivalen a 230, así que cinco 23 serán la mitad de 230, lo que es 115. 15 es 10 más 5, luego, 15 \boldcdot 23 es 230 más 115, lo que es 345”.

    1. ¿Estás de acuerdo con Jada? Explica.

    2. Dibuja un rectángulo de 15 por 23. Divídelo en dos rectángulos y etiquétalos para mostrar el razonamiento de Jada.