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Lección 12Unidades en dibujos a escala

Usemos diferentes escalas para describir el mismo dibujo.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo determinar si dos escalas son equivalentes.
  • Puedo escribir escalas con unidades como escalas sin unidades.

12.1 Centímetros en una milla

Hay 2.54 cm en una pulgada, 12 pulgadas en un pie y 5,280 pies en una milla. ¿Cuál de las siguientes expresiones da el número de centímetros en una milla? Explica tu razonamiento.

  1. \frac{2.54}{12 \boldcdot 5,280}
  2. 5,\!280 \boldcdot 12 \boldcdot (2.54)
  3. \frac{1}{5,280 \boldcdot 12 \boldcdot (2.54)}
  4. 5,\!280 + 12 + 2.54
  5. \frac{5,280 \boldcdot 12}{2.54}

12.2 Clasificación de tarjetas de escalas

Tu profesor te dará algunas tarjetas con una escala en cada tarjeta.

  1. Clasifica las tarjetas en colecciones de escalas equivalentes. Prepárate para explicar cómo sabes que las escalas de cada colección son equivalentes. Cada colección debería tener al menos dos tarjetas.

  2. Intercambia lugares con otro grupo y revisen el trabajo del otro. Si hay desacuerdos acerca de cómo se deberían clasificar las escalas, trabajen para llegar a un acuerdo. 

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. 

  1. Luego, registra una de las colecciones que tenga tres escalas equivalentes y explica por qué son equivalentes.

12.3 La bandera más grande del mundo

En 2016 Túnez tenía el récord mundial de la versión más grande de una bandera nacional. Medía casi cuatro campos de fútbol. La bandera tiene un círculo en la mitad, una luna creciente dentro del círculo y una estrella dentro de la luna creciente.

  1. Completa la tabla. Explica o muestra tu razonamiento.
    longitud de la bandera altura de la bandera altura de la luna creciente
    real 396 m 99 m
    a una escala de 1 a 2,000 13.2 cm

  2. Completa cada escala con el valor que la hace equivalente a la escala de 1 a 2,000. Explica o muestra tu razonamiento.

    1. 1 cm a ____________ cm
    2. 1 cm a ____________ m
    3. 1 cm a ____________ km
    4. 2 m a _____________ m
    1. 5 cm a ___________ m
    2. ____________ cm a 1,000 m
    3. ____________ mm a 20 m
    1. ¿Cuál es el área de la bandera grande?
    2. ¿Cuál es el área de la bandera más pequeña?
    3. ¿Cuántas veces el área de la bandera más pequeña es el área de la bandera grande?

12.4 Pensemos en piscinas

Tu profesor te dará un plano de un centro recreacional. 

  1. ¿Cuál es la escala del plano si la longitud de lado real de la piscina cuadrada es 14 m? Expresa tu respuesta como una escala con unidades y como una escala sin unidades.
  2. Encuentra el área real de la piscina rectangular grande. Muestra tu razonamiento.
  3. La piscina curva tiene un área de 3.2 cm2 en el dibujo. ¿Cuál es su área real? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

  1. El cuadrado A es una copia a escala del cuadrado B con un factor de escala de 2. Si el área del cuadrado A es 10 unidades2, ¿cuál es el área del cuadrado B?
  2. El cubo A es una copia a escala del cubo B con un factor de escala de 2. Si el volumen del cubo A es 10 unidades3, ¿cuál es el volumen del cubo B?
  3. El hipercubo de cuatro dimensiones A es una copia a escala del hipercubo B con un factor de escala de 2. Si el "volumen" del hipercubo A es 10 unidades4, ¿cuál crees que es el volumen del hipercubo B?

Resumen de la lección 12

Algunas veces las escalas vienen con unas unidades, otras veces no. Por ejemplo, un mapa de Nebraska puede tener una escala de 1 mm a 1 km. Esto significa que cada milímetro de distancia en el mapa representa 1 kilómetro de distancia en Nebraska. La misma escala sin unidades es 1 a 1,000,000, lo cual significa que cada unidad de distancia en el mapa representa 1,000,000 unidades de distancia en Nebraska. Esto es cierto para cualquier elección de unidad.

Para ver que estas dos escalas son equivalentes, observemos que hay 1,000 milímetros en 1 metro y 1,000 metros en un kilómetro. Esto significa que hay  1,\!000 \boldcdot 1,\!000 o 1,000,000 milímetros en 1 kilómetro. Así que las distancias reales en Nebraska miden 1,000,000 veces más que las distancias del mapa. 

Una escala nos dice cómo la longitud de un dibujo corresponde a una longitud real, también nos dice cómo un área en un dibujo corresponde a un área real.

Por ejemplo, si 1 centímetro en un dibujo a escala representa 2 metros en distancia real, ¿qué representa 1 centímetro cuadrado del dibujo en área real? El cuadrado de la izquierda tiene longitudes de lado 1 cm, así que su área es 1 cm cuadrado. 

El cuadrado de la derecha muestra las dimensiones reales representadas por el cuadrado de la izquierda. Dado que cada longitud de lado del cuadrado real es de 2 m, el cuadrado real tiene un área de  2^2 o 4 metros cuadrados.

Podemos usar esta relación para encontrar el área real de cualquier región representada sobre un dibujo. Si una habitación tiene un área de 18 cm2  en el dibujo, sabemos que tiene un área real de 18 \boldcdot 4 = 72 o 72 m2.

En general, si 1 unidad en el dibujo representa n unidades reales, entonces una unidad cuadrada en el dibujo representa  n^2 unidades cuadradas reales.

Problemas de práctica de la lección 12

  1. El edificio Empire State en la ciudad de Nueva York mide cerca de 1,450 pies de alto (incluyendo la antena en la punta) y 400 pies de ancho. Andre quiere hacer un dibujo a escala de la vista frontal del Empire State sobre una hoja de papel que mide  8 \frac{1}{2} pulgadas por 11 pulgadas. Elige una escala que creas que es la más apropiada para este dibujo a escala. Explica tu razonamiento.

    1. 1 pulgada a 1 pie
    2. 1 pulgada a 100 pies
    3. 1 pulgada a 1 milla
    4. 1 centímetro a 1 metro
    5. 1 centímetro a 50 metros
    6. 1 centímetro a 1 kilómetro

  2. Elena ve que el área de una casa en un dibujo a escala es 25 pulgadas cuadradas. El área real de la casa es 2,025 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es la escala del dibujo?

  3. ¿Cuáles de estas escalas son equivalentes a 3 cm a 4 km? Elige todas las que aplican. Recuerda que 1 pulgada es 2.54 centímetros.

    1. 0.75 cm a 1 km

    2. 1 cm a 12 km

    3. 6 mm a 2 km

    4. 0.3 mm a 40 m

    5. 1 pulgada a 7.62 km

  4. Estos dos triángulos son copias a escala el uno del otro. El área del triángulo más pequeño es 9 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área del triángulo más grande? Explica o muestra cómo lo sabes. 

    Small triangle has a height of 3. Large triangle has a height of 6.

  5. El agua cuesta $1.25 por cada botella. A esta tasa, encuentra el costo de:

    1. 10 botellas
    1. 20 botellas
    1. 50 botellas

  6. La primera fila de la tabla muestra la cantidad de detergente para platos y agua que se necesitan para hacer una solución de jabón.

    1. Completa la tabla para 2, 3 y 4 tandas.

    2. ¿Cuánta agua y detergente se necesitan para 8 tandas? Explica tu razonamiento.

    número de tandas tazas de agua tazas de detergente
    1 6 1
    2
    3
    4