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Lección 5Circunferencia y ruedas

Exploremos qué tan lejos ruedan distintas ruedas.

Metas de aprendizaje:

  • Si conozco el radio o el diámetro de una rueda, puedo hallar la distancia que recorre la rueda en cierto número de revoluciones.

5.1 Una cuerda y una rueda

Han dice que es posible enrollar una cuerda de 5 pies de largo alrededor de una rueda que tiene un diámetro de 2 pies porque  \frac52 es menor que pi. ¿Estás de acuerdo con Han? Explica tu razonamiento.

5.2 Rueda, rueda, rueda

Tu profesor te dará un objeto circular.

  1. Sigue estas instrucciones para hacer el dibujo:

    1. Utiliza una regla para dibujar una recta a lo largo de toda la hoja. Si tu objeto no es tan pequeño, puedes utilizar una hoja de papel adicional.
    2. Haz rodar tu objeto a lo largo de la recta y marca el lugar donde completa una rotación.
    3. Utiliza tu objeto para dibujar marcas a lo largo de la recta que estén separadas por una distancia igual al diámetro de tu objeto.
  2. ¿Qué observas?

  3. Utiliza tu regla para medir cada distancia. Anota estos valores en la primera fila de la tabla:

    1. el diámetro de tu objeto
    2. qué tan lejos rodó tu objeto en una rotación completa
    3. el cociente de que tan lejos rodó tu objeto dividido entre el diámetro de tu objeto
    objeto   diámetro distancia recorrida
    en una rotación    		 \text{distancia} \div \text{diámetro}
  4. Si quisieras trazar dos rotaciones completas de tu objeto, ¿qué tan larga necesitarías que fuera tu recta?
  5. Comparte tus resultados con tu grupo y anota sus medidas en la tabla.
  6. Si cada persona de tu grupo hiciera rodar su objeto a lo largo de toda la longitud del salón, ¿cuál objeto completaría el mayor número de rotaciones? Explica o muestra tu razonamiento.

5.3 Rotaciones y distancia

  1. Una llanta de un carro tiene un diámetro de 20.8 pulgadas.

    1. ¿Aproximadamente qué tan lejos se desplaza la llanta del carro en 1 rotación?, ¿5 rotaciones?, ¿30 rotaciones?

    2. Escribe una ecuación que relacione la distancia que recorre el carro en pulgadas, c , con el número de rotaciones de la llanta, x .

    3. ¿Aproximadamente cuántas rotaciones hace la llanta del carro cuando el carro recorre 1 milla? Explica o muestra tu razonamiento.

  2. Una llanta de una bicicleta tiene un radio de 13 pulgadas.

    1. ¿Aproximadamente qué tan lejos se desplaza la llanta de la bicicleta en 1 rotación?, ¿5 rotaciones?, ¿30 rotaciones?

    2. Escribe una ecuación que relacione la distancia que recorre la bicicleta en pulgadas,  b , con el número de rotaciones de la llanta, x .

    3. ¿Aproximadamente cuántas rotaciones hace la llanta de la bicicleta cuando la bicicleta recorre 1 milla? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Estas son unas fotos de un resorte de juguete.

Si pudieras estirar el resorte para que quedara completamente recto, ¿qué tan largo sería? Explica o muestra tu razonamiento.

5.4 Rotaciones y rapidez

La circunferencia de la llanta de un carro es de alrededor de 65 pulgadas. 

  1. Si la llanta del carro rota una vez por cada segundo, ¿qué tan lejos se desplaza el carro en un minuto?
  2. Si la llanta del carro rota una vez por cada segundo, ¿aproximadamente cuántas millas recorre el carro en una hora?
  3. Si la llanta del carro rota 5 veces por cada segundo, ¿aproximadamente cuántas millas recorre el carro en una hora?
  4. Si el carro recorre 65 millas por cada hora, ¿aproximadamente cuántas veces por segundo rota la llanta?

Resumen de la lección 5

La circunferencia de un círculo es la distancia alrededor del círculo. Esta también es qué tan lejos rueda el círculo sobre una superficie plana en una rotación. Por ejemplo, una llanta de una bicicleta que tiene un diámetro de 24 pulgadas tiene una circunferencia de  24\pi pulgadas y rodará  24\pi pulgadas (o  2\pi pies) en una rotación completa. Hay una ecuación que relaciona al número de rotaciones de la llanta con la distancia que ha recorrido. Para ver por qué, miremos la tabla que muestra qué tan lejos se desplaza la bicicleta cuando la llanta realiza distintos números de rotaciones.

número de rotaciones distancia recorrida (pies)
1 2\pi
2 4 \pi
3 6 \pi
10 20 \pi
50 100 \pi
x ?

En la tabla, vemos que la relación que hay entre la distancia recorrida y el número de rotaciones de la llanta es una relación proporcional. La constante de proporcionalidad es  2\pi . Para hallar el valor que falta en la última fila de la tabla, observa que cada rotación de la rueda contribuye en  2\pi pies de distancia recorrida. Así que después de  x rotaciones, la bicicleta recorrerá 2\pi x pies. Si  d es la distancia recorrida en pies, cuando esta llanta realiza x rotaciones, tenemos la relación:  d = 2\pi x

Problemas de práctica de la lección 5

  1. El diámetro de la llanta de una bicicleta es 27 pulgadas. Si la llanta da 15 rotaciones completas, ¿cuánto se desplaza la bicicleta?

  2. Las llantas de la bicicleta de Kiran tienen una circunferencia de 64 pulgadas. ¿Cuántas veces rotan las llantas si Kiran recorre 300 yardas?

  3. Los números son medidas del radio, el diámetro y la circunferencia de los círculos A y B. El círculo A es más pequeño que el círculo B. ¿Qué número corresponde a qué cantidad? 2.5, 5, 7.6, 15.2, 15.7, 47.7

  4. El círculo A tiene una circunferencia de 2\frac23 m. El círculo B tiene una diámetro que es  1\frac12 veces la longitud del diámetro del círculo A. ¿Cuál es la circunferencia del círculo B?

  5. La longitud del segmento  AE es 5 centímetros.

    1. ¿Cuál es la longitud del segmento  CD ?
    2. ¿Cuál es la longitud del segmento  AB ?
    3. Nombra un segmento que tenga la misma longitud que el segmento  AB .