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Lección 14Ángulos alternos internos

Exploremos por qué algunos ángulos siempre son iguales.

Metas de aprendizaje:

  • Si tengo dos rectas paralelas cortadas por una transversal, puedo identificar ángulos alternos internos y usar eso para encontrar las medidas de ángulos que faltan.

14.1 Parejas de ángulos

  1. Encuentra la medida del ángulo  JGH . Explica o muestra tu razonamiento.

  2. Encuentra y etiqueta un segundo ángulo de  30^\circ grados en el diagrama. Encuentra y etiqueta un nuevo ángulo congruente al ángulo  JGH .

14.2 Cortemos rectas paralelas con una transversal

Las rectas  AC y  DF son paralelas y son cortadas por la transversal  HJ . 

  1. Con tu compañero, encuentren las siete medidas desconocidas de los ángulos en el diagrama. Expliquen su razonamiento.

  2. ¿Qué observan sobre los ángulos con vértice  B y los ángulos con vértice  E ?

  3. Usando lo que observaron, determinen las medidas de los cuatro ángulos en el punto  B del segundo diagrama. Las rectas  AC y  DF son paralelas.

  4. El siguiente diagrama se parece al primero, pero las rectas forman ángulos ligeramente diferentes. Trabaja con tu compañero para determinar los seis ángulos desconocidos con vértices en los puntos B y  E .

  5. ¿Qué observan sobre los ángulos en este diagrama en comparación con los del diagrama anterior? ¿En qué se diferencian los dos diagramas? ¿En qué se parecen?

¿Estás listo para más?

Las rectas paralelas \ell y  m son cortadas por dos transversales que intersecan  \ell en el mismo punto. Se etiquetan dos ángulos en la figura. Determina la medida x del tercer ángulo.

14.3 Los ángulos alternos internos son congruentes

  1. Las rectas  \ell y  k son paralelas y  t es una transversal. El punto M es el punto medio del segmento  PQ .

    Encuentra una transformación rígida que muestre que los ángulos  MPA y MQB son congruentes.
  2. En este diagrama, las rectas  \ell y  k ya no son paralelas, pero  M aún es el punto medio del segmento  PQ .

    ¿Tu argumento en el problema anterior aplica para esta situación? Explica.

Resumen de la lección 14

Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, sus medidas suman 180 ^\circ . Por ejemplo, en esta figura los ángulos 1 y 3 son iguales, los ángulos 2 y 4 son iguales, los ángulos 1 y 4 son suplementarios, y los ángulos 2 y 3 son suplementarios.

Cuando dos rectas paralelas se cortan por otra recta, llamada una transversal, se crean dos parejas de ángulos alternos internos ("interno" significa al interior, o entre, las dos rectas paralelas). Por ejemplo, en esta figura los ángulos 3 y 5 son ángulos alternos internos, y los ángulos 4 y 6 también son ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos son iguales porque una rotación de  180^\circ alrededor del punto medio del segmento que une sus vértices lleva cada ángulo al otro. Imagina un punto  M en la mitad entre las dos intersecciones, ¿puedes ver cómo una rotación de 180^\circ alrededor de  M lleva el ángulo 3 al ángulo 5?

Al usar lo que sabemos sobre ángulos opuestos, ángulos adyacentes y ángulos alternos internos, podemos encontrar las medidas de cualquiera de los ochos ángulos creados por una transversal, si conocemos solo uno de ellos. Por ejemplo, partiendo del hecho de que el ángulo 1 es  70^\circ , usamos los ángulos opuestos para ver que el ángulo 3 es  70^\circ ; luego, usamos ángulos alternos internos para ver que el ángulo 5 es  70^\circ ; después, usamos el hecho de que el ángulo 5 es suplementario al ángulo 8 para ver que el ángulo 8 es  110^\circ porque  180 -70 = 110 . Resulta que realmente solo hay dos medidas diferentes. En este ejemplo, los ángulos 1, 3, 5 y 7 miden  70^\circ , y los ángulos 2, 4, 6 y 8 miden  110^\circ .

Términos del glosario

ángulos alternos internos

Los ángulos alternos internos se crean cuando una recta (llamada una transversal) cruza a dos rectas paralelas. Los ángulos alternos internos están en la franja que se forma entre las dos rectas paralelas y en lados opuestos de la transversal.

Este diagrama muestra dos pares de ángulos alternos internos. Los ángulos a y  d son un par, y los ángulos b y  c son otro.

transversal

Una transversal es una recta que cruza dos rectas paralelas.

Este diagrama muestra una recta transversal, k , que cruza a dos rectas paralelas, m y  \ell .

Problemas de práctica de la lección 14

  1. Usa el diagrama para encontrar las medidas de cada ángulo. Explica tu razonamiento.

    1. m{\angle ABC}
    2. m{\angle EBD}
    3. m{\angle ABE}

  2. Las rectas  k y  \ell son paralelas y la medida del ángulo  ABC es 19 grados.

    Points F, C, and D lie on line k, where point F is to the left of point C and point D is to the right of point C. Points A and B lie on line l, where point B is to the right of point A. Lines k and l are parallel, where line k is above line l, and both lines slant upward and to the right. A third line, labeled m, intersects lines k and l at point C and point B and has a point labeled E located to the left of point C.
    1. Explica por qué la medida del ángulo  ECF es 19 grados. Si se te dificulta, considera trasladar la recta  \ell moviendo B a  C .
    2. ¿Cuál es la media del ángulo  BCD ? Explica.

  3. El diagrama muestra tres líneas con algunas medidas de ángulos etiquetadas.

    Encuentra las medidas de los ángulos que faltan que están etiquetadas signo de interrogación.

  4. Las dos figuras son copias a escala entre sí. 

    1. ¿De qué maneras puedes decidir que son copias a escala?
    2. ¿Cuál es el factor de escala que lleva la Figura 1 a la Figura 2?
    3. ¿Cuál es el factor de escala que lleva la Figura 2 a la Figura 1?