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Lección 3Movidas balanceadas

Reescribamos ecuaciones mientras mantenemos las mismas soluciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo sumar, restar, dividir o multiplicar cada lado de una ecuación por la misma expresión para obtener una nueva ecuación con la misma solución.

3.1 Asociemos colgadores con ecuaciones

Las figuras A, B, C, y D muestran el resultado de simplificar el colgador de la figura A, al quitar pesos iguales de cada lado.   

Estas son algunas ecuaciones. Cada ecuación representa uno de los diagramas de colgador. 

2(x + 3y) = 4x + 2y 2y = x 2(x + 3y) + 2z = 2z + 4x + 2y x + 3y = 2x + y

  1. Escribe la ecuación que corresponda con cada figura:
    A:
    B:
    C:
    D:

  2. Cada variable ( x , y , y  z ) representa el peso de una figura. ¿Cuál corresponde con cuál? 
  3. Explica qué se hizo a cada ecuación para generar la siguiente. Si tienes dificultades, piensa en cómo cambiaron los colgadores.

3.2 Asociemos movidas con ecuaciones

Su profesor les entregará algunas tarjetas. Cada una de las tarjetas numeradas del 1 al 6 muestra dos ecuaciones. Cada una de las tarjetas marcadas con las letras de la A a la E describe una movida que convierte una ecuación en otra.

  1. Emparejen cada tarjeta numerada con una tarjeta que tenga una letra.
  2. Una de las tarjetas con letra no tiene pareja. Para esta tarjeta, escriban dos ecuaciones que muestren la movida descrita.

3.3 Mantener la igualdad

  1. Noah y Lin resolvieron la ecuación 14a=2(a-3) .

    ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? ¿Por qué?

    Solución de Noah:

    \begin{align*} 14a&=2(a-3) \\ 14a&=2a-6 \\ 12a&=\text-6 \\ a&=\text-\frac12 \\ \end{align*}

    Solución de Lin:

    \begin{align} 14a&=2(a-3) \\ 7a&=a-3\\ 6a&=\text-3\\a&=\text-\frac12 \end{align}

  2. Se le pide a Elena que resuelva  15 - 10x = 5(x + 9) . ¿Qué le recomiendas que haga primero a cada lado?
  3. Se le pide a Diego que resuelva 3x -8 = 4(x + 5) . ¿Qué le recomiendas que haga primero a cada lado?

¿Estás listo para más?

En un acertijo criptoaritmético, los dígitos de 0 a 9 se representan con letras del alfabeto. Usa lo que sabes sobre la suma para encontrar qué dígito corresponde con cada letra A, B, E, G, H, L, N y R.

HANGER + HANGER + HANGER = ALGEBRA

Resumen de la lección 3

Una ecuación nos dice que dos expresiones tienen el mismo valor. Por ejemplo, si   4x+9 y  \text-2x-3 tienen el mismo valor, podemos escribir la ecuación

4x + 9 = \text-2x - 3

Anteriormente usamos colgadores para comprender que, si sumamos números positivos en cada lado de la ecuación, los lados seguirán teniendo el mismo valor. ¡También funciona si sumamos números negativos! Por ejemplo, podemos sumar -9 a cada lado de la ecuación. 

\begin{align} 4x+9+\text-9 &= \text-2x-3+\text-9 &&\text{se suma $\text-9$ a cada lado}\\ 4x &= \text-2x-12 && \text{se agrupan términos semejantes} \end{align}

Podemos sumar expresiones a cada lado de una ecuación porque las expresiones representan números. Por ejemplo, podemos sumar 2x a cada lado de la ecuación y seguir manteniendo la igualdad.

\begin{align} 4x+2x &= \text-2x-12 +2x && \text{se suma $2x$ a cada lado} \\ 6x &= \text-12 && \text{se agrupan términos semejantes} \end{align}

Si multiplicamos o dividimos las expresiones en cada lado de una ecuación por el mismo número, seguiremos manteniendo la igualdad (siempre y cuando no dividamos entre cero). 

\begin{align} 6x\boldcdot \frac16=\text-12\boldcdot \frac16 && \text{se multiplica cada lado por }\frac16 \end{align}

o

\begin{align} 6x\div6=\text-12\div6 && \text{se divide cada lado entre 6} \end{align}

Con esto vemos que  x = \text-2 es la solución de nuestra ecuación. 

Usaremos estas movidas de manera sistemática para resolver ecuaciones en lecciones posteriores.

Problemas de práctica de la lección 3

  1. En este colgador, el peso del triángulo es x y el del cuadrado es y .

    1. Escribe una ecuación, usando x y y para representar el colgador.  

    2. Si x es 6, ¿qué es y ?  

  2. Empareja cada grupo de ecuaciones con la movida que convirtió la primera ecuación en la segunda.

    1. 6x + 9 = 4x -3
      2x + 9 = \text-3
    2. \text-4(5x-7) = \text-18
      5x-7 = 4.5
    3. 8-10x = 7+5x
      4-10x = 3+ 5x
    4. \frac {\text{-}5x}{4} = 4
      5x=\text-16
    5. 12x+4 = 20x+24
      3x+1=5x+6
    1. Se multiplica cada lado por \frac {\text{-}1}{4}
    2. Se multiplica cada lado por \text-4
    3. Se multiplica cada lado por \frac14
    4. Se suma \text-4x a cada lado
    5. Se suma  \text-4 a cada lado

  3. Andre y Diego intentaron resolver 2x+6=3x-8 . Describe el primer paso que ellos hicieron en la ecuación.

    1. El resultado del primer paso de Andre fue \text-x+6=\text-8 .
    2. El resultado del primer paso de Diego fue 6=x-8 .

    1. Completa la tabla con valores de x o de y que hagan verdadera esta ecuación:  3x+y=15 .

      x 2 6 0 3
      y 3 0 8

    2. Elabora una gráfica, ubica estos puntos y halla la pendiente de la recta que pasa por ellos.

  5. Selecciona todas las situaciones para las que únicamente tienen sentido las soluciones que son cero o positivas. 

    1. Medir la temperatura en grados Celsius en un puesto fronterizo del Ártico cada día de enero.
    2. La altura de una vela mientras se quema durante una hora.
    3. La elevación sobre el nivel del mar de un excursionista que desciende dentro de un cañón.
    4. El número de estudiantes que quedan en la escuela después de las 6:00 p.m.
    5. El saldo de una cuenta bancaria durante un año.
    6. La temperatura en grados Fahrenheit de un horno utilizado durante un día caluroso de verano.