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Lección 4Más movidas balanceadas

Reescribamos algunas ecuaciones mientras mantenemos las mismas soluciones. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo dar sentido a las diferentes formas de resolver una ecuación.

4.1 ¿Ecuaciones diferentes?

Ecuación 1

x-3=2-4x

¿Cuál de estas tiene la misma solución que la ecuación 1? Prepárate para explicar tu razonamiento.

Ecuación A

2x-6=4-8x

Ecuación B

x-5=\text-4x

Ecuación C

2(1-2x)=x-3

Ecuación D

\text-3=2-5x

4.2 Paso a paso a paso a paso

Esta es una ecuación y todos los pasos que Clare escribió para resolverla:

\begin{align}14x - 2x + 3 &= 3(5x + 9)\\12x + 3& = 3(5x + 9)\\3(4x+1)& = 3(5x + 9)\\4x + 1 &= 5x + 9\\1 &= x + 9\\ \text{-}8 &= x \end{align}

La siguiente es la misma ecuación y los pasos que Lin escribió para resolverla:

\begin{align}14x - 2x + 3 &= 3(5x + 9)\\12x + 3 &= 3(5x + 9)\\12x + 3 &= 15x + 27\\12x &= 15x + 24\\ \text{-}3x &= 24\\x &= \text{-}8 \end{align}

  1. ¿Ambas soluciones son correctas? Expliquen su razonamiento.
  2. Describan las semejanzas y diferencias entre los pasos que ellos siguieron.
  3. Mai y Noah también resolvieron la ecuación, pero algunos de sus pasos tienen errores. Encuentra el paso incorrecto en cada solución y explica por qué es incorrecto.

    Mai:
    \begin{align}14x - 2x + 3 &= 3(5x + 9) \\ 12x + 3 &= 3(5x + 9) \\ 7x + 3 &= 3(9) \\7x + 3 &= 27 \\7x &= 24 \\ x &= \frac{24}{7} \end{align}

    Noah:
    \begin{align}14x - 2x + 3 &= 3(5x + 9) \\  12x + 3 &= 15x + 27 \\ 27x + 3 &= 27 \\ 27x& = 24 \\ x &= \frac{24}{27} \end{align}

4.3 Hagamos nuestros propios pasos

Resuelve cada ecuación, encontrando el valor de x .

1. \frac{12+6x}{3}=\frac{5-9}{2}

2. x-4=\frac13(6x-54)

3. \text-(3x-12)=9x-4

¿Estás listo para más?

Tengo 24 lápices y 3 tazas. La segunda taza tiene un lápiz más que la primera. La tercera tiene uno más que la segunda. ¿Cuántos lápices tiene cada taza?  

Resumen de la lección 4

¿Cómo nos aseguramos de que la solución que encontramos para una ecuación es correcta? ¡Hay muchos errores posibles con los que hay que tener cuidado! Por ejemplo: sumar accidentalmente cuando pretendíamos restar, olvidar un signo menos (-) cuando distribuimos, olvidar escribir x de una línea a la siguiente.

Afortunadamente, cada paso que seguimos para resolver una ecuación tiene como resultado una nueva ecuación con la misma solución que la original. Esto significa que podemos comprobar nuestro trabajo, reemplazando el valor de la solución en la ecuación original. Por ejemplo, resolvamos la siguiente ecuación:  

\begin{align} 2x&=\text-3(x+5)\\ 2x&=\text-3x+15\\ 5x&=15\\ x&=3 \end{align}

Al reemplazar la x con 3 en la ecuación original, 

\begin{align} 2(3) &= \text-3(3+5)\\ 6&= \text-3(8)\\ 6&=\text-24 \end{align}

¡obtenemos un enunciado que no es verdadero! Esto nos indica que cometimos un error en alguna parte. Al comprobar cuidadosamente los pasos que hicimos primero, observamos que cometimos un error al distribuir -3. Al corregirlo, obtenemos

\begin{align} 2x&=\text-3(x+5)\\ 2x&=\text-3x-15\\ 5x&=\text-15\\ x&=\text-3 \end{align}

Al reemplazar la x con -3 en la ecuación original para asegurarnos de que no cometemos otro error: 

\begin{align} 2(\text-3) &= \text-3(\text-3+5)\\ \text-6&= \text-3(2)\\ \text-6&=\text-6 \end{align}

Esta ecuación es verdadera, por lo que, x=\text-3 es la solución.

Problemas de práctica de la lección 4

  1. Mai y Tyler trabajan en la ecuación \frac25b+1=\text-11 . La solución de Mai es b=\text-25 y la de Tyler es  b=\text-28 . Este es su trabajo:

    Mai:
    \frac25b+1=\text-11
    \frac25b=\text-10
    b=\text-10\boldcdot \frac52
    b = \text-25

    Tyler:
    \frac25b+1=\text-11
    2b+1=\text-55
    2b=\text-56
    b=\text-28

    ¿Estás de acuerdo con sus soluciones? Explica o muestra tu razonamiento.

  2. Resuelve 3(x-4)=12x

  3. Describe lo que se hace en cada paso, al resolver la ecuación.

    1. 2(\text-3x+4)=5x+2
    2. \text-6x+8=5x+2
    3. 8=11x+2
    4. 6=11x
    5. x=\frac{6}{11}

  4. Andre resolvió una ecuación, pero cuando comprobó su respuesta, observó que su solución era incorrecta. Él sabe que cometió un error, pero no ha podido encontrarlo. ¿En qué parte está el error de Andre y cuál es la solución de la ecuación?

    \begin{align} \text{-}2(3x-5) &= 4(x+3)+8\\\text{-}6x+10 &= 4x+12+8\\\text{-}6x+10 &= 4x+20\\ 10 &= \text{-}2x+20\\\text{-}10 &= \text{-}2x\\ 5 &= x\end{align}

  5. Escoge la ecuación que tenga soluciones  (5, 7) y (8, 13) .

    1. 3x-y =8
    2. y=x+2
    3. y-x=5
    4. y=2x-3

  6. La longitud de una cinta se corta en dos pedazos para utilizar en un proyecto de manualidades. La gráfica muestra la longitud del segundo pedazo, x , para cada longitud del primer pedazo, y .

    1. ¿Cuánto mide la cinta de largo? Explica cómo lo sabes.
    2. ¿Cuál es la pendiente de la recta?
    3. Explica qué representa la pendiente de la recta y por qué encaja en la historia.