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Lección 5Resolvamos cualquier ecuación lineal

Resolvamos ecuaciones lineales. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo resolver una ecuación que tiene la variable en ambos lados.

5.1 Conversación sobre ecuaciones

  1. 5 - x = 8
  2. \text-1 = x - 2
  3. \text-3x = 9
  4. \text-10 = \text-5x

5.2 Intercambiemos movidas

El profesor les entregará 4 tarjetas, cada una con una ecuación.

  1. Seleccionen una tarjeta y elijan quién va a tomar el primer turno.
  2. Durante tu turno, decide cuál debería ser la siguiente movida para resolver la ecuación, explica tu elección a tu compañero, luego escríbela si los dos están de acuerdo. Intercambien los papeles para la siguiente movida. Continúen hasta resolver la ecuación.
  3. Escojan una segunda ecuación para resolverla de la misma manera, intercambien la tarjeta después de cada movida.
  4. Para las últimas dos ecuaciones, elijan cada uno una ecuación y resuélvanla. Luego, cuando terminen, intercambien con su compañero con el fin de verificar el trabajo del otro.

5.3 Un acertijo desconcertante

Tyler dice que inventó un acertijo numérico. Le pide a Clare que escoja un número y que haga lo siguiente:

  • Triplicar el número
  • Restar 7
  • Duplicar el resultado 
  • Restar 22
  • Dividir entre 6

Clare dice que, después de seguir esos pasos, obtuvo un -3. Tyler dice que el número original de Clare era 3. ¿Cómo sabía esto Tyler? Explica o muestra tu razonamiento. Prepárate para compartir tu razonamiento con la clase.

Resumen de la lección 5

Cuando tenemos una ecuación de una variable, hay muchas formas diferentes de resolverla. Generalmente, queremos hacer movidas que nos acerquen a una ecuación de la forma 

variable = algún número

Por ejemplo, x=5 o  t=\frac73 . Como hay muchas formas de hacerlo, es útil elegir movidas que dejen menos términos o factores. Si tenemos una ecuación como 

3t + 5 = 7,

al sumar -5 a cada lado quedarán menos términos. La ecuación se convierte entonces en

3t = 2.

Al dividir cada lado de esta ecuación entre 3, t quedará sola a la izquierda y así  t = \frac{2}{3}.

O, si tenemos una ecuación como

4(5 - a) = 12,

al dividir cada lado entre 4 quedarán menos factores a la izquierda, 5-a = 3.

Algunas personas usan los siguientes pasos para resolver ecuaciones lineales de una variable: 

  1. Usar la propiedad distributiva para que las expresiones queden sin paréntesis.
  2. Agrupar términos semejantes en cada lado de la ecuación. 
  3. Sumar o restar una expresión para que la variable quede en un solo lado.
  4. Sumar o restar una expresión para que solo quede un número en el otro lado. 
  5. Dividir o multiplicar por un número para obtener una ecuación que de la forma variable  = algún número.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver 9-2b + 6 =\text-3(b+5) + 4b .

\begin{align} 9 - 2b + 6 &= \text-3b - 15 + 4b&&\text{Se usa la propiedad distributiva}\\ 15 - 2b &= b - 15&&\text{Se agrupan términos semejantes}\\ 15 &= 3b - 15&&\text{Se suma $2b$ a cada lado}\\ 30 &= 3b&&\text{Se suma 15 a cada lado}\\ 10 &= b&&\text{Se divide cada lado entre 3}\\ \end{align}

Seguir estos pasos siempre funcionará, aunque es posible que este no sea el método más eficiente. Si practicamos mucho, aprenderemos cuándo usar diferentes enfoques.

Problemas de práctica de la lección 5

  1. Resuelve cada una de estas ecuaciones. Explica o muestra tu razonamiento.

    2(x+5)=3x+1

    3y-4=6-2y

    3(n+2)=9(6-n)

  2. Clare resolvió una ecuación, pero cuando comprobó su respuesta, observó que su solución era incorrecta. Ella sabe que cometió un error pero no lo puede encontrar. ¿En qué parte está el error de Clare y cuál es la solución correcta de la ecuación?

    \begin{align} 12(5+2y)&=4y-(5-9y)\\ 72+24y&=4y-5-9y\\ 72+24y&=\text-5y-5\\ 24y&=\text-5y-77\\ 29y&=\text-77\\ y&=\frac {\text{-}77}{29}\ \end{align}

  3. Resuelve cada ecuación y comprueba tu solución.

    \frac19(2m-16) = \frac13(2m+4)

    \text-4(r+2)=4(2-2r)

    12(5+2y)=4y-(6-9y)

  4. Esta es la gráfica de una ecuación lineal.

    Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre la recta y su ecuación.

    1. Una solución de la ecuación es (3,2) .
    2. Una solución de la ecuación es (\text-1,1) .
    3. Una solución de la ecuación es \left(1,\frac32\right) .
    4. Hay 2 soluciones
    5. Hay infinitas soluciones.
    6. La ecuación de la recta es y=\frac14 x +\frac54 .
    7. La ecuación de la recta es y=\frac54 x +\frac14 .

  5. Un participante de una maratón de 21 millas camina a una tasa constante de 3 millas por hora. Él piensa: "La relación que hay entre el número de millas que faltan por caminar y el número de horas que he caminado se puede representar con una recta con pendiente  \text-3 ". ¿Estás de acuerdo con su afirmación? Explica tu razonamiento.