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Lección 6Solución estratégica

Resolvamos ecuaciones lineales como un profesional. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo resolver una ecuación lineal de una variable.

6.1 Perímetros iguales

El triángulo y el cuadrado tienen perímetros iguales.  

  1. Encuentra el valor de  x .
  2. ¿Cuál es el perímetro de cada una de las figuras? 

6.2 Predecir soluciones

Sin resolverlas, identifica si estas ecuaciones tienen una solución que sea positiva, negativa o igual a cero. 

  1. \frac{x}{6}=\frac{3x}{4}
  2. 7x=3.25
  3. 7x=32.5
  4. 3x+11=11
  1. 9-4x=4
  2. \text-8+5x=\text-20
  3. \text-\frac12(\text-8+5x)=\text-20

6.3 ¿Cuál prefieres resolver?

Estas son muchas ecuaciones: 

A.  \text{-} \frac56(8+5b)=75+\frac53 b

B. \text-\frac12(t+3)-10=\text-6.5

C.  \frac{10-v}{4}=2(v+17)

D.  2(4k+3)-13=2(18-k)-13

E.  \frac{n}{7}-12=5n+5

F.  3(c-1)+2(3c+1)=\text-(3c+1)

G.  \frac{4m-3}4=\text{-}\frac{9+4m}8

H.  p-5(p+4)=p-(8-p)

I.  2(2q+1.5)=18-q

J.  2r+49=\text{-}8(\text{-}r-5)

  1. Sin resolverlas, identifiquen 3 ecuaciones que crean que serían menos difíciles de resolver y 3 ecuaciones que crean que serían más difíciles de resolver. Prepárense para explicar su razonamiento.
  2. Escojan 3 ecuaciones para resolver. Al menos una debe estar en su lista de "menos difíciles" y una en su lista de "más difíciles". 

¿Estás listo para más?

Mai le dio a Kiran la mitad de sus brownies más la mitad de un brownie. Luego, le dio a Tyler la mitad de lo que quedaba más la mitad de un brownie. Eso la dejó con un brownie. ¿Cuántos brownies tenía inicialmente?

Resumen de la lección 6

A veces debemos resolver ecuaciones en las que pasan muchas cosas en cada lado. Por ejemplo, 

x-2(x+5)=\dfrac{3(2x-20)}{6}

Esta ecuación tiene variables en ambos lados, tiene paréntesis e incluso aparece una fracción que puede complicar las cosas. Antes de comenzar a distribuir, examinemos la fracción del lado derecho. Se multiplica la expresión  2x-20 por 3 y se divide entre 6, que es lo mismo que dividir entre 2, entonces podemos reescribir la ecuación así 

x-2(x+5)=\dfrac{2x-20}{2}

Ahora es más fácil ver que todos los términos en el numerador del lado derecho son divisibles entre 2, lo que significa que podemos reescribir el lado derecho así

x-2(x+5)=x-10

En este punto, podríamos hacer alguna distribución y luego agrupar los términos semejantes en cada lado de la ecuación. Otra opción sería usar la estructura de la ecuación. Tanto el lado izquierdo como el derecho tienen algo que se resta de x . Pero, si los dos lados son iguales, eso significa que ese "algo" que se resta de cada lado debe ser igual. Al pensar de esta manera, la ecuación se puede reescribir ahora con menos términos así

2(x+5)=10

¡Ya quedan pocos pasos! Antes de seguir, pensemos, ¿qué podemos saber ahora sobre la solución de este problema? ¿Es positiva? ¿Negativa? ¿Cero? Observa que al multiplicar el 2 y el 5 da 10, así que al multiplicar el 2 y la x no se puede obtener un valor positivo o negativo. Estos son los últimos pasos: 

\begin{align} 2(x+5)&=10\\ x+5&=5&&\text{Se divide cada lado entre 2}\\ x &=0&&\text{Se resta 5 de cada lado}\\ \end{align}

Ni positivo ni negativo. Tal como se predijo.

Problemas de práctica de la lección 6

  1. Resuelve cada una de las ecuaciones. Explica o muestra tu razonamiento.

    1. 2b+8-5b+3=\text-13+8b-5
    2. 2x+7-5x+8=3(5+6x)-12x
    3. 2c-3=2(6-c)+7c

  2. Resuelve cada ecuación y comprueba tu solución.

    1. \text-3w-4=w+3
    2. 3(3-3x)=2(x+3)-30
    3. \frac13(z+4)-6=\frac23(5-z)

  3. Elena dijo que la ecuación 9x+15=3x+15 no tiene soluciones porque 9x es mayor que 3x . ¿Estás de acuerdo con Elena? Explica tu razonamiento.

  4. La tabla proporciona algunos datos de muestra para dos cantidades, x y y , que están en una relación proporcional.

    x y
    14 21
    64
    39
    1
    1. Completa la tabla.
    2. Escribe una ecuación que represente la relación entre  x y  y que se muestra en la tabla.
    3. Grafica la relación. Utiliza una escala para los ejes que muestre todos los puntos de la tabla.