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Lección 3Potencias de potencias de 10

Consideremos potencias de potencias de 10.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar y usar una regla para elevar una potencia de 10 a una potencia.

3.1 El gran cubo

¿Cuál es el volumen de un cubo gigante en el que cada lado mide 10,000 km?

3.2 Elevemos potencias de 10 a otras potencias

    1. Completa la tabla para explorar patrones sobre los exponentes al elevar una potencia de 10 a otra potencia. Puedes omitir un solo elemento en la tabla, pero si lo haces, prepárate para explicar por qué lo hiciste.

      expresión expresión desarrollada como una sola potencia de 10
      (10^3)^2 (10 \boldcdot 10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10 \boldcdot 10) 10^6
      (10^2)^5 (10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10)
      (10 \boldcdot 10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10 \boldcdot 10)
      (10^4)^2
      (10^8)^{11}
    2. Si elegiste omitir un elemento en la tabla, ¿cuál fue ese elemento?, ¿por qué ese elemento?
  2. Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir  \left(10^m\right)^n como una expresión equivalente usando un solo exponente, como  10^{\boxed{\phantom{3}}} .
  3. Si tuvieras la cantidad de aceite que se consumió en 2 meses en el año 2013 en todo el mundo, podrías hacer un cubo de aceite en el que cada lado mide  10^3 metros. ¿Cuántos metros cúbicos de aceite son? ¿Crees que esto sería suficiente para llenar un estanque, un lago o un océano? 

3.3 ¿Cómo funcionan las reglas?

Andre y Elena quieren escribir 10^2 \boldcdot 10^2 \boldcdot 10^2 usando un solo exponente.

  • Andre dice: "Cuando multiplicamos potencias con la misma base, esto significa simplemente sumar los exponentes, es decir, 10^2 \boldcdot 10^2 \boldcdot 10^2 = 10^{2+2+2} = 10^6 ".

  • Elena dice: " 10^2 se multiplica 3 veces por sí mismo, es decir,  10^2 \boldcdot 10^2 \boldcdot 10^2 = (10^2)^3 = 10^{2+3} = 10^5 ".

¿Están de acuerdo con alguno de ellos? Expliquen su razonamiento. 

¿Estás listo para más?

2^{12} = 4,\!096 . ¿Cuántos otros números enteros podrías elevar a una potencia para obtener 4,096? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección 3

En esta lección desarrollamos una regla para elevar una potencia de 10 a otra potencia: tomar una potencia de 10 y elevarla a otra potencia es lo mismo que multiplicar los exponentes.

Veamos qué sucede cuando elevamos  10^4 al exponente 3. \left(10^4\right)^3 =10^4 \boldcdot  10^4 \boldcdot  10^4 = 10^{12} .

Esto funciona para cualquier potencia de potencias de 10. Por ejemplo, \left(10^{6}\right)^{11} = 10^{66} . Esta es otra regla que facilitará el trabajo y la comprensión de expresiones con exponentes.

Problemas de práctica de la lección 3

  1. Escribe cada expresión con un solo exponente:

    1. (10^7)^2
    2. (10^9)^3
    3. (10^6)^3
    4. (10^2)^3
    5. (10^3)^2
    6. (10^5)^7

  2. Tienes 1,000,000 dados numéricos, en cada uno de los dados un lado mide una pulgada.

    1. Si apilas los dados uno encima de otro para hacer una torre enorme, ¿qué altura podría alcanzar? Explica tu razonamiento.
    2. Si organizas los dados en el suelo para hacer un cuadrado, ¿podría caber el cuadrado en el salón de clase? ¿Cuáles serían las dimensiones? Explica tu razonamiento. 
    3. Si pones los dados en capas para hacer un cubo gigante, ¿cuáles serían las dimensiones del cubo? Explica tu razonamiento.

  3. Después de una hora, una ameba se divide para formar dos amebas. Una hora más tarde, cada una de las dos amebas se divide para formar dos más. Así sucesivamente, cada ameba se divide para formar dos más cada hora. 

    1. ¿Cuántas amebas hay después de 1 hora? 
    2. ¿Cuántas amebas hay después de 2 horas? 
    3. Escribe una expresión que muestre el número de amebas que habrá después de 6 horas.
    4. Escribe una expresión que muestre el número de amebas que habrá después de 24 horas.
    5. ¿Por qué la notación exponencial podría ser preferible para responder estas preguntas? 

  4. Elena observó que hace nueve años su prima Katie tenía el doble de la edad que ella tenía. Entonces dijo: “¡en cuatro años, tendré la edad que Katie tiene ahora!”. Si Elena actualmente tiene e años y Katie tiene k años, ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones se puede asociar con la historia?

    1. \begin{cases}k-9=2e \\e+4=k \\ \end{cases}
    2. \begin{cases}2k=e-9 \\e=k+4 \\ \end{cases}

    3. \begin{cases}k=2e-9 \\e+4=k+4 \\ \end{cases}

    4. \begin{cases}k-9=2(e-9) \\e+4=k \\ \end{cases}