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Lección 4Dividamos potencias de 10

Exploremos patrones con exponentes cuando dividimos potencias de 10.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo evaluar 10^0 y explicar por qué el resultado tiene sentido.
  • Puedo explicar y usar una regla para dividir potencias de 10.

4.1 Uno bien sorprendente

¿Cuál es el valor de la expresión?

\frac{2^5\boldcdot 3^4 \boldcdot 3^2}{2 \boldcdot 3^6 \boldcdot 2^4}

4.2 Dividamos potencias de diez

    1. Completa la tabla para explorar patrones en los exponentes al dividir potencias de 10. Usa la columna "expresión desarrollada" para mostrar por qué la expresión dada es igual a usar una sola potencia de 10. Puedes omitir un solo elemento en la tabla, pero si lo haces, prepárate para explicar por qué lo hiciste.

      expresión expresión desarrollada como una sola potencia
      10^4 \div 10^2 \frac{10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10} = \frac{10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10} \boldcdot 10 \boldcdot 10 = 1 \boldcdot 10 \boldcdot 10 10^2
      \frac{10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10} = \frac{10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10}  \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 = 1  \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10
      10^6 \div 10^3
      10^{43} \div 10^{17}
    2. Si elegiste omitir un elemento en la tabla, ¿cuál fue ese elemento?, ¿por qué ese elemento?
  2. Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir  \frac{10^n}{10^m} como una expresión equivalente de la forma  10^{\boxed{\phantom{3}}} .  
  3. Para el año 2050, se predice que habrá 10^{10} personas viviendo en la Tierra. También se predice que habrá aproximadamente  10^{12} árboles. ¿Cuántos árboles habrá por cada persona?

¿Estás listo para más?

expresión expresión desarrollada como una sola potencia
10^4 \div 10^6

4.3 Exponente igual a cero

Hasta ahora, hemos considerado potencias de 10 usando exponentes mayores que 0. ¿Qué pasaría con nuestras reglas si consideramos al 0 como un posible exponente?

  1. Escribe  10^{12} \boldcdot 10^0 como una potencia de 10 usando un solo exponente y la regla de exponentes correcta. Explica o muestra su razonamiento.

    1. ¿Cuál número se podría multiplicar por  10^{12} para obtener la misma respuesta?

  2. Escribe  \frac{10^8}{10^0} usando un solo exponente y la regla de exponentes adecuada. Explica o muestra tu razonamiento.

    1. ¿Qué número podría dividir a 10^{8} para obtener ese mismo resultado?
  3. Si queremos que las reglas de exponentes funcionen incluso cuando el exponente es cero, entonces ¿cuál debe ser el valor de 10^0 ?
  4. Noah dice: "Si se desarrolla  10^0 en factores, esto significa tener cero factores que son 10, por lo que esto debe ser igual a 0". ¿Estás de acuerdo? Discute esto con tu compañero.

4.4 Hagamos millones

Escribe tantas expresiones como puedas que tengan el mismo valor que  10^6 . Enfócate en usar exponentes, multiplicación y división. ¿Qué patrones observas en los exponentes?

Resumen de la lección 4

En una lección anterior, aprendimos que al multiplicar potencias de 10, los exponentes se suman. Por ejemplo,  10^6 \boldcdot 10^3 = 10^9 , pues al multiplicar 6 factores que son 10 por 3 factores que son 10 se obtienen 9 factores que son 10. Además, podemos pensar en esta expresión de multiplicación como una división:  10^6 = \frac{10^9}{10^3}  Entonces, cuando dividimos potencias de 10, el exponente en el denominador se resta del exponente en el numerador. Esto tiene sentido, ya que \frac{10^9}{10^3} = \frac{10^3 \boldcdot 10^6}{10^3} = \frac{10^3}{10^3} \boldcdot 10^6 = 1 \boldcdot 10^6 = 10^6 Esta regla también funciona para otras potencias de 10. Por ejemplo, \frac{10^{56}}{10^{23}} = 10^{33} , porque 23 factores que son 10 en el numerador y en el denominador se usan para obtener 1 y nos quedan 33 factores de 10.

Esto genera un nueva regla de exponentes: \frac{10^n}{10^m} = 10^{n-m}. Hasta ahora, esto solo tiene sentido cuando  n y  m son enteros positivos y  n > m , pero extenderemos esta regla para incluir un nuevo exponente,  10^0 . Si consideramos \frac{10^6}{10^0} , usando la regla de exponentes se obtiene  10^{6-0} , que es igual a 10^6 . Al dividir  10^6 entre  10^0 no cambia su valor. Esto significa que si queremos que la regla funcione cuando el exponente es 0, entonces debe cumplirse que: 10^0=1

Problemas de práctica de la lección 4

  1. Resuelve:

    1. 10^0
    2. \frac{10^3}{10^3}
    3. 10^2 + 10^1 + 10^0

  2. Escribe cada expresión como una sola potencia de 10.

    1. \frac{10^3 \boldcdot 10^4}{10^5}
    2. (10^4) \boldcdot \frac{10^{12}}{10^7}
    3. (\frac{10^5}{10^3})^4
    4. \frac{10^4 \boldcdot 10^5 \boldcdot 10^6}{10^3 \boldcdot 10^7}
    5. \frac{(10^5)^2}{(10^2)^3}
  3. El sol es aproximadamente 10^2 veces tan ancho como la tierra. La estrella KW Sagittarii es aproximadamente 10^5 veces tan ancha como la tierra. ¿Cuántas veces tan ancho es el sol comparado con la estrella KW Sagittarii? Explica cómo lo sabes.

  4. Los bananos cuestan $1.50 por cada libra, y las guayabas cuestan $3.00 por cada libra. Kiran gasta $12 en frutas para el desayuno que su familia organiza. b es el número de libras de banano que Kiran compra y g es el número de libras de guayaba que él compra.

    1. Escribe una ecuación que relacione las dos variables.
    2. Reorganiza la ecuación para que b sea la variable independiente.
    3. Reorganiza la ecuación para que g sea la variable independiente.

  5. La mamá de Lin anda en bicicleta a una rapidez constante de 12 millas por hora. Lin camina con una rapidez constante de \frac13  de la rapidez a la que su mamá anda en bicicleta. Dibuja una gráfica de las dos relaciones.