Unidad 4 Semejanza y trigonometría de triángulos rectángulos
Lección 1
Focos de aprendizaje
Describir las características principales de una transformación de dilatación.
Resumen de la lección
En esta lección observamos las características clave de una transformación de dilatación mientras descifrábamos cómo ampliar una imagen con una máquina fotocopiadora. Aprendimos a ubicar puntos en la imagen dilatada usando el centro y el factor de escala que definen una dilatación específica. Observamos que la relación que a veces llamamos “misma figura, distinto tamaño” entre las figuras preimagen e imagen es una consecuencia de la forma como se definen las dilataciones.
Lección 2
Focos de aprendizaje
Crear figuras semejantes con una dilatación cuando nos dan un factor de escala.
Usar dilataciones para demostrar un teorema sobre los segmentos medios de un triángulo.
Resumen de la lección
En esta lección ampliamos nuestros conocimientos sobre las figuras semejantes. Los segmentos correspondientes de las figuras semejantes son proporcionales y las dilataciones producen figuras semejantes. Por eso, al realizar una dilatación, las partes correspondientes de una imagen y su preimagen son proporcionales. También aprendimos que en una dilatación los segmentos de recta correspondientes son paralelos. Estas dos observaciones nos sirvieron como herramienta para demostrar un teorema sobre los segmentos medios de un triángulo (los segmentos que unen los puntos medios de dos lados de un triángulo).
Lección 3
Focos de aprendizaje
Determinar criterios para la semejanza de triángulos.
Resumen de la lección
En esta lección exploramos qué significa decir que dos figuras son semejantes geométricamente y analizamos bajo qué condiciones dos triángulos son semejantes. Escribimos y justificamos varios teoremas sobre criterios para la semejanza de triángulos.
Lección 4
Focos de aprendizaje
Demostrar que si una recta paralela a uno de los lados de un triángulo interseca los otros dos lados, entonces la recta divide los otros dos lados en proporciones iguales.
Resumen de la lección
En una lección anterior aprendimos que un segmento medio de un triángulo (un segmento que une los puntos medios de dos de los lados) es paralelo al tercer lado del triángulo y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado. En esta lección extendimos este teorema al incluir otros segmentos que dividen los lados de un triángulo proporcionalmente. También demostramos un teorema poco intuitivo de “proporcionalidad de segmentos”, acerca de los segmentos que se forman cuando varias rectas paralelas a un lado de un triángulo dividen los otros dos lados del triángulo.
Lección 5
Focos de aprendizaje
Practicar el razonamiento geométrico al hacer cálculos.
Resumen de la lección
En esta lección usamos varios teoremas para justificar los cálculos que hicimos para encontrar medidas desconocidas de lados y ángulos. Para saber qué teoremas usar, tuvimos que analizar las características que podíamos ver en el diagrama. Podíamos usar varias estrategias para encontrar muchas de las medidas. También usamos el diagrama, junto con las medidas que calculamos, para formular y justificar una conjetura sobre la suma de los ángulos internos de cualquier polígono, parecida al teorema que demostramos antes sobre la suma de los ángulos internos de un triángulo.
Lección 6
Focos de aprendizaje
Encontrar el punto medio de un segmento y un punto que divida el segmento de acuerdo a una razón dada.
Resumen de la lección
En esta lección analizamos estrategias para dividir un segmento de recta en dos partes que corresponden a una razón dada. Una aplicación frecuente de este concepto es encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento dadas las coordenadas de sus extremos.
Lección 7
Focos de aprendizaje
Demostrar el teorema de Pitágoras algebraicamente.
Resumen de la lección
En la lección de hoy aprendimos que si dibujamos la altura de un triángulo rectángulo desde el vértice donde está el ángulo recto hasta la hipotenusa, el triángulo queda dividido en dos triángulos más pequeños que son semejantes entre sí y que también son semejantes al triángulo rectángulo original. Pudimos demostrar el teorema de Pitágoras usando ecuaciones de proporción de los tres triángulos semejantes.
Lección 8
Focos de aprendizaje
Investigar las razones correspondientes de triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo en común.
Resumen de la lección
En esta lección exploramos las razones trigonométricas, que son razones especiales en los triángulos rectángulos. Si dos triángulos rectángulos tienen un par de ángulos agudos correspondientes que son congruentes, los triángulos son semejantes y por eso las razones correspondientes de los lados de estos dos triángulos rectángulos son iguales. Esta observación es muy útil cuando hay triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo en común. Por esto, los valores de estas razones se registraron en tablas para cada ángulo agudo entre
Lección 9
Focos de aprendizaje
Analizar las propiedades de las expresiones trigonométricas.
Resumen de la lección
En esta lección analizamos algunas relaciones entre las razones trigonométricas, por ejemplo, una relación entre el seno y el coseno de dos ángulos complementarios. Justificamos nuestras observaciones usando propiedades de triángulos rectángulos, incluyendo el teorema de Pitágoras, que nos da una relación entre las longitudes de los lados.
Lección 10
Focos de aprendizaje
Encontrar las medidas desconocidas de los lados y de los ángulos de un triángulo rectángulo.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos nuevas estrategias para encontrar medidas desconocidas de lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Esto es útil si no conocemos suficientes medidas de los lados o de los ángulos como para usar el teorema de Pitágoras o el teorema de la suma para los triángulos. Nos dimos cuenta de que en un triángulo rectángulo las razones trigonométricas sirven para encontrar longitudes de lado y las relaciones trigonométricas inversas sirven para encontrar medidas de ángulos. Con estas herramientas podemos encontrar todas las medidas de los lados y ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo cuando nos dan dos datos: dos longitudes de los lados del triángulo, o la longitud de un lado y la medida de un ángulo.
Lección 11
Focos de aprendizaje
Resolver problemas de aplicación usando trigonometría.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos sobre el proceso de modelación y usamos trigonometría para modelar distintos tipos de situaciones de aplicación, incluso cuando los triángulos rectángulos no surgían de manera natural. Los triángulos rectángulos sirvieron para representar situaciones, y por eso pudimos usar razones trigonométricas y relaciones trigonométricas inversas en contextos de construcción, aviación y transporte, entre otros.