Lección 3 Construyamos el cuadrado perfecto Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

Grafica cada función.

1.

$y = - x^{2} + 5$

2.

$y = {(x - 1)}^{2} - 3$

3.

$y = 2 x^{2} - 5$

Focos de aprendizaje

Encontrar el cuadrado de un binomio.

Reconocer un trinomio cuadrado perfecto.

Crear cuadrados perfectos a partir de áreas parciales.

Encontrar las relaciones que hay entre los términos de un trinomio cuadrado perfecto.

¿Cómo puedo usar modelos para encontrar expresiones que sean equivalentes a cuadrados perfectos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Óptima tiene una tienda en la que vende piezas de tela de varios colores para las personas que quieran hacer sus propias colchas. Ella tiene diseños que pueden adaptarse a cualquier tipo de cama porque se basan en cuadrados de tela que varían en tamaño. Óptima llama $x$ a la longitud del lado de un cuadrado básico, por lo que la función $A (x) = x^{2}$ es el área de un cuadrado básico. De esta manera, puede personalizar los diseños haciendo cuadrados más grandes o más pequeños.

1.

Si Óptima le suma $3 pulgadas$ al lado del cuadrado, ¿cuál es el área del cuadrado?

Cuando Óptima dibuja el patrón del cuadrado del problema 1, se ve así:

2.

Usa el diagrama y la ecuación $A (x) = {(x + 3)}^{2}$ para explicar por qué el área de la pieza de tela, $A (x)$ , también es igual a $x^{2} + 6 x + 9$ .

Las asesoras de servicio al cliente de la tienda de Óptima registran los pedidos teniendo en cuenta el área de tela que necesitan los clientes. Como pudiste ver en el problema 2, hay dos formas en las que se puede describir el área de una pieza de tela. En una se describe la longitud de los lados de la pieza. En la otra se describen las áreas de cada una de las $4$ secciones de la pieza.

Para cada una de los siguientes piezas de tela, dibuja el diagrama y escribe dos ecuaciones equivalentes que representen el área.

3.

Pieza con longitud de lado $x + 2$ .

4.

Pieza con longitud de lado $x + 1$

5.

¿Qué patrones observas al relacionar los diagramas con las dos expresiones del área?

6.

A Óptima le gusta que su perrita, Clementine, esté en la tienda. Cierto día Clementine sintió hambre y empezó a mordisquear los pedidos. Cuando Óptima los encontró, uno de ellos estaba tan mordisqueado que solo quedaban expresiones incompletas del área. Ayuda a Óptima a completar cada una de las siguientes expresiones del área para que describan un cuadrado perfecto. Después, escribe las dos ecuaciones equivalentes que representan el área del cuadrado.

a.

$x^{2} + 4 x$

b.

$x^{2} + 6 x$

c.

$x^{2} + 8 x$

d.

$x^{2} + 12 x$

7.

a.

Si $x^{2} + b x + c$ es un cuadrado perfecto, ¿qué relación hay entre $b$ y $c$ ?

b.

Si tenemos $x^{2} + b x$ , ¿qué estrategia se puede usar para encontrar $c$ y completar el cuadrado?

c.

¿Funcionará esta estrategia si $b$ es negativo? ¿Por qué sí o por qué no?

d.

¿Funcionará la estrategia si $b$ es un número impar? ¿Qué le pasa a $c$ cuando $b$ es impar?

8.

Una de las nuevas asesoras de servicio al cliente cree que ya no necesita dibujar diagramas porque descubrió un método más rápido. Ella escribe ${(x + 5)}^{2} = x^{2} + 25$ . Analiza su idea. ¿Crees que tiene razón o crees que la asesora debería reconsiderar su estrategia? ¿Qué sugerencias le harías?

¿Listo para más?

Demuestra que ${(x + h)}^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$ . Puedes hacerlo de forma algebraica o con un diagrama.

Aprendizajes

Si $x^{2} + b x + c$ es un cuadrado perfecto,

El cuadrado de un binomio:

Un ejemplo es:

Notación, convenciones y vocabulario

Binomio:

Trinomio:

Cuadrado de un binomio:

Vocabulario

binomio
completar el cuadrado
trinomio
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección usamos modelos de área para mostrar cómo obtenemos trinomios cuadrados perfectos al multiplicar binomios. Aprendimos a reconocer un trinomio cuadrado perfecto identificando una relación entre el segundo y el tercer término. También creamos un cuadrado perfecto a partir de los dos primeros términos de un trinomio.

Repaso

1.

Grafica la ecuación $3 x + 2 y = 12$ y encuentra las intersecciones con el eje $x$ y con el eje $y$ .

intersección con el eje $x$ :

intersección con el eje $y$ :

Cada una de las siguientes ecuaciones tiene solo una intersección. Encuéntrala e indica si es una intersección con el eje $x$ o una intersección con el eje $y$ .

2.

$y = - 8$

3.

$x = 13$