Lección 7 Enfócate, concéntrate y síguenos la cuerda Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Comprender la definición de una elipse.

Comprender las relaciones entre las partes de una elipse.

Escribir la ecuación de una elipse.

¿Qué figura se forma con todos los puntos que están a una distancia dada de dos puntos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Necesitarás tres hojas de papel, un pedazo de cartón que mida por lo menos $8^{″} \times 8^{″}$ , dos chinchetas, $36 pulgadas$ de cuerda y un lápiz.

1.

Corta tres pedazos de cuerda: uno de $10 pulgadas$ , uno de $12 pulgadas$ y uno de $14 pulgadas$ . Ata los extremos de cada pedazo de cuerda. Deben quedar como se muestra en la figura.

2.

Ubica una hoja de papel encima del cartón.

3.

Ubica las dos chinchetas a $4 pulgadas$ de distancia, enrolla una de las cuerdas alrededor de las chinchetas y fíjalas en la hoja.

4.

Hala la cuerda con firmeza entre las dos chinchetas y sostenla entre tus dedos índice y pulgar. Debes formar un triángulo, como se muestra en la figura.

5.

Usa el lápiz para tensar la cuerda. Mueve tu lápiz para trazar una curva, de manera que la cuerda esté tensionada en todo momento.

6.

¿Qué figura se forma? ¿Qué características geométricas de la figura observas?

7.

Repite el proceso de nuevo usando otras cuerdas. ¿Qué efecto tiene cambiar la longitud de la cuerda?

8.

¿Qué efecto tiene cambiar la distancia entre las dos chinchetas? (Puede que tengas que experimentar para responder esta pregunta).

La figura geométrica que has creado se llama una elipse. Cada una de las dos chinchetas representa un foco de la elipse. Para “enfocar” nuestras observaciones acerca de la elipse, haremos el proceso lentamente y observaremos los puntos de la elipse en posiciones específicas. Para que sea más fácil hacer las marcas, ubicaremos la elipse en el plano de coordenadas.

9.

La distancia del punto de la elipse a cada uno de los focos está marcada como $d 1$ y $d 2$ .

Compara $d 1 + d 2$ de la figura 1 con $d 1 + d 2$ de la figura 2. ¿Qué puedes decir? (La figura 1 y la figura 2 son la misma elipse).

10.

Mide la longitud de la elipse, de un extremo al otro, sobre el eje $x$ . Compara esa longitud con $d 1 + d 2$ . ¿Qué puedes decir? Explica tu respuesta usando un diagrama.

Acabas de construir una elipse a partir de la definición: “Una elipse es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en un plano tales que la suma de sus distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es una constante”. Al igual que los círculos y las parábolas, las elipses también tienen ecuaciones. La ecuación básica de la elipse se deduce de una manera semejante a la ecuación de una parábola o de un círculo. Como usualmente es más fácil empezar con un caso específico y después generalizar, empezaremos con esta elipse:

11.

Ahora usa las conclusiones que obtuviste anteriormente para ayudarte a escribir una ecuación. (También te ayudaremos con algunas indicaciones).

a.

En esta elipse, ¿cuál es la suma de las distancias de un punto $(x, y)$ a $F 1$ y $F 2$ ?

b.

Escribe una expresión en términos de $x$ y $y$ que represente la distancia entre el punto $(x, y)$ de la elipse y $F 1 (- 3, 0)$ .

c.

Escribe una expresión en términos de $x$ y $y$ que represente la distancia entre el punto $(x, y)$ de la elipse y $F 2 (3, 0)$ .

d.

Usa tus respuestas a las actividades a, b y c para escribir una ecuación.

12.

La ecuación de esta elipse en forma estándar es:

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ .

Reorganizar tu ecuación para comprobarla puede ser más complejo de lo que te imaginarías, por eso intentaremos una estrategia diferente. Esta ecuación muestra que la elipse tiene los puntos $(4, 0)$ y $(0, - \sqrt{7})$ . ¿Ambos puntos hacen que sea verdadera la ecuación que escribiste en 11d? Muestra aquí cómo lo comprobaste.

13.

En realidad, usar la forma estándar de la ecuación es muy fácil. Sin embargo, tienes que observar algunas relaciones más. Esta es otra imagen que tiene marcadas algunas partes diferentes.

$a$ = distancia horizontal del centro a la elipse

$b$ = distancia vertical del centro a la elipse

$c$ = distancia del centro a un foco

Teniendo en cuenta el diagrama, describe en palabras las siguientes expresiones:

$2 a$ :

$2 b$ :

$2 c$ :

14.

¿Cuál es la relación matemática entre $a$ , $b$ y $c$ ?

15.

Ahora puedes usar la forma estándar de la ecuación de una elipse que está centrada en $(0, 0)$ :

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Escribe la ecuación de cada una de las siguientes elipses:

a.

b.

c.

16.

Usa tu experiencia desplazando círculos y parábolas respecto al origen para escribir una ecuación de esta elipse. Pon a prueba tu ecuación usando algunos puntos de la elipse que puedas identificar.

¿Listo para más?

¿Estás listo para un reto? Intenta encontrar la ecuación de la elipse que tiene focos en $(0, - 5)$ y $(0, 5)$ , y cuyo eje mayor tiene una longitud de $14$ .

Aprendizajes

Elipse:

Características de una elipse:

Ecuación de una elipse con centro $(h, k)$ :

Vocabulario

eje mayor y eje menor de una elipse
elipse
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección comprendimos la definición de una elipse. Identificamos muchas de las características de una elipse, incluyendo los focos, el centro, el eje mayor y el eje menor. Encontramos la ecuación de una elipse a partir de su definición y aprendimos a escribirla en forma estándar con cualquier centro.

Repaso

1.

El rectángulo de la figura $B$ es una traslación del rectángulo de la figura $A$ . Escribe las ecuaciones de las dos diagonales del rectángulo $A B C D$ en forma punto-pendiente. Después escribe las ecuaciones de las dos diagonales de $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

2.

Usa la gráfica para encontrar los valores que faltan.

a.

$f (\underset{―}{}) = 5$

b.

$g (\underset{―}{}) = - 1$

c.

$g (\underset{―}{}) = 0$

d.

$f (0) + g (0) =$