Open Up Resources Logo

Lección 8 ¿Qué ocurre si...? Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Comparar la ecuación de una elipse con la ecuación de otras figuras geométricas.

Graficar hipérbolas.

Escribir la ecuación de una hipérbola.

¿Qué figura forman los puntos cuya diferencia de distancias con respecto a dos puntos es constante?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Después de pasar algún tiempo trabajando con círculos y elipses, Maya se da cuenta de que las ecuaciones se parecen mucho. Por ejemplo, estas son las ecuaciones de una elipse y un círculo:

,

1.

¿En qué se parecen las anteriores ecuaciones de un círculo y una elipse? ¿En qué se diferencian?

2.

Maya se pregunta que pasaría si tomara la ecuación del círculo y la reorganizara de manera que al lado derecho fuera , como en la forma estándar de una elipse. ¿En qué se convertiría la ecuación del círculo?

3.

Después de ver esta ecuación, Maya se pregunta si un círculo en realidad es una elipse o si una elipse en realidad es un círculo. ¿Cómo responderías esta pregunta?

4.

Maya observa la ecuación de la elipse y se pregunta qué pasaría si el signo “” de la ecuación se reemplazara por un signo “”, y se formara la ecuación:

.

Sin hacer más cálculos o graficar puntos, predice si la gráfica de esta ecuación será o no una elipse. Justifica tu respuesta usando lo que sabes acerca de las elipses.

5.

Grafica la ecuación del problema 4 para decidir si tu predicción era correcta. Asegúrate de usar suficientes puntos para obtener una imagen completa de la figura.

blank graph–10–10–10–8–8–8–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444666888101010–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444000

6.

¿Cuáles son algunas de las características de la figura que graficaste?

7.

El profesor de Maya le dice que la figura que está representada con cada una de las dos ecuaciones se llama hipérbola. Maya se pregunta qué pasaría si el término se intercambiara con el término , de modo que la ecuación fuera: .

Grafica esta ecuación y compárala con la hipérbola que graficaste antes.

blank graph–10–10–10–8–8–8–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444666888101010–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444000

8.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian esta hipérbola y la que graficaste en el problema 5?

Una estrategia que permite graficar la hipérbola a partir de una ecuación de una forma más eficiente es dibujar primero un rectángulo con lados que midan la raíz cuadrada de los números que están en el denominador de y . Después, se dibujan rectas punteadas a lo largo de las diagonales que forman las fronteras de la hipérbola.

Usemos esta estrategia para graficar la ecuación: . Empieza por encontrar la raíz cuadrada de , que es . Luego te mueves unidades hacia arriba y hacia abajo desde el origen. Después, encuentras la raíz cuadrada de , que es . Ahora te mueves unidades hacia la izquierda y hacia la derecha desde el origen. Después, formas un rectángulo con estos puntos, uno en cada lado, y dibujas las diagonales.

Obtendrás esto:

Hyperbola with rectangle JKLM inscribed within, point C(0,5) and D(0,-5)x–10–10–10–5–5–5555101010y–5–5–5555000

9.

Así que Maya, la audaz aventurera de las Matemáticas, decide usar esta estrategia gráfica con una ecuación nueva. La forma estándar de la ecuación de una hipérbola que está centrada en es:

(abre hacia la izquierda y hacia la derecha).

(abre hacia arriba y hacia abajo).

Maya grafica la ecuación:

.

Inténtalo tú mismo en la gráfica y mira qué se te ocurre.

blank graph–10–10–10–8–8–8–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444666888101010–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444000

10.

Maya se pregunta qué ocurre si la ecuación se vuelve:

¿Cuál es tu predicción? ¿Por qué?

11.

Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola:

Hyperbola with point A(4,1.5) and B(4,5.5)x–5–5–5555101010151515y–5–5–5000

12.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian una hipérbola y una elipse?

¿Listo para más?

Los círculos, las elipses, las parábolas y las hipérbolas se llaman secciones cónicas. La razón de este nombre es porque se puede pensar en ellas como si fueran cortes de un cono doble circular, como el que se muestra a continuación. Tu reto es identificar cómo se puede “cortar” el cono con un plano para que se forme un círculo, una parábola, una elipse o una hipérbola.

double circular cone

Aprendizajes

Definición de una hipérbola:

Hyperbola with Point A(-5,0) and Point B(5,0)x–5–5–5555y–5–5–5555000

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos acerca de las hipérbolas, las últimas secciones cónicas. Aprendimos que las gráficas de las hipérbolas pueden abrir hacia arriba y abajo o hacia la izquierda y la derecha. La definición de una hipérbola se parece mucho a la definición de una elipse, excepto que un punto en la hipérbola es la diferencia entre las distancias a los focos y en la elipse es la suma de las distancias a los focos. Esto hace que la ecuación de una hipérbola sea como la ecuación de una elipse, excepto que los términos se restan en vez de sumarse.

Repaso

1.

Identifica cada sección cónica.

a.

b.

c.

2.

Identifica qué sección cónica es: . Completa el cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar.

Si la cónica es:

  • una parábola, identifica el vértice, el foco y la directriz.

  • un círculo, identifica el centro y el radio.

  • una elipse, identifica el centro, el radio del eje horizontal y el radio del eje vertical.

  • una hipérbola, escribe las ecuaciones de las asíntotas.