Lección 4 Dirigiendo nuestro foco Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

Usa un diagrama para encontrar la distancia entre el punto y la recta o entre los dos puntos dados. La distancia entre un punto y una recta se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta que pasa por el punto.

a.

Punto $(4, 5)$ Recta: $y = 1$

b.

Punto $(x, y)$ Recta: $y = 1$

c.

Punto $(4, 5)$ Punto $(0, 3)$

d.

Punto $(x, y)$ Punto $(0, 3)$

Focos de aprendizaje

Construir una definición geométrica de una figura conocida.

Los círculos están formados por todos los puntos que están a la misma distancia del centro. ¿Qué figura está formada por todos los puntos que están a la misma distancia de un punto y de una recta?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En un tablero del salón de clase tu profesor dibujó un punto y una recta como estos:

Llamaremos a la recta una directriz y al punto un foco. Ambos están marcados en el dibujo. Al igual que en la actividad de los círculos, vamos a construir una figura geométrica usando el foco (punto $A$ ) y la directriz (recta $ℓ$ ).

1.

Recorta un pedazo de cuerda que mida más de $12$ pulgadas.

2.

Marca el punto medio de la cuerda con un marcador o un bolígrafo. Si tu profesor te lo indica, haz un nudo corredizo en un extremo de la cuerda antes de encontrar el punto medio.

3.

Ubica la cuerda en el tablero de manera que el punto medio quede equidistante del foco (punto $A$ ) y de la directriz (recta $ℓ$ ), lo que quiere decir que debe ser perpendicular a la directriz. Puedes ubicar la cuerda al lado derecho o al lado izquierdo del foco. Mientras mantienes la cuerda en esta posición, ubica un alfiler en cada extremo y otro en el punto medio. Si estás usando cinta, pega los extremos y el punto medio como se muestra. Dependiendo del tamaño de tu cuerda, debería verse así:

4.

A medida que tus compañeros de clase ubican sus cuerdas, ¿qué figura geométrica predices que se formará con los puntos medios (el conjunto de todos los puntos como el que está marcado con ( $x, y$ ) en la figura de arriba)? ¿Por qué?

5.

Considera la siguiente construcción que tiene como foco el punto $A$ y como directriz el eje $x$ . Usa una regla para completar la construcción de la parábola de la misma manera en que construyeron la parábola con cuerda en la clase.

6.

¿Dónde está ubicado el vértice de la figura? ¿Cómo lo sabes?

7.

¿Dónde está ubicada la recta de simetría de la figura? ¿Cómo lo sabes?

8.

Construiste una parábola a partir de la siguiente definición: “Una parábola es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ que son equidistantes de una recta $ℓ$ (la directriz) y un punto que no está en la recta (el foco)”. Usa esta definición para escribir la ecuación de la parábola dibujada en el problema 5, donde el punto $(x, y)$ representa cualquier punto sobre la parábola.

9.

¿Cómo cambiaría la parábola si el foco se moviera hacia arriba, lejos de la directriz?

10.

¿Cómo cambiaría la parábola si el foco se moviera hacia abajo, cerca de la directriz?

11.

¿Cómo cambiaría la parábola si el foco se moviera hacia abajo, por debajo de la directriz?

¿Listo para más?

En esta unidad estudiamos el conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes de un punto dado (un círculo) y el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto y una recta (una parábola). Ahora tu reto es encontrar la figura que se forma con el conjunto de todos los puntos que son equidistantes a dos puntos. Intenta usar algunas de las mismas ideas que usaste para las parábolas y los círculos.

Aprendizajes

Definición de una parábola:

Relaciones entre las características de una parábola:

Vocabulario

directriz
foco
parábola: definición como cónica, definición geométrica
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos la definición geométrica de una parábola. Al igual que los círculos, las parábolas son figuras geométricas que se pueden construir de dos maneras: a partir de una definición y como un conjunto de puntos generados a partir de una ecuación. Las características que definen una parábola son el foco y la directriz, de la misma manera que las características que definen un círculo son el centro y el radio.

Repaso

1.

Grafica el siguiente conjunto de funciones en el mismo eje de coordenadas. Describe en qué se parecen las gráficas y en qué se diferencian.

$y = x^{2}$
$y = \frac{1}{3} x^{2}$
$y = - \frac{1}{3} x^{2}$
$y = {(x - 3)}^{2}$

2.

Reescribe la ecuación $x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y + 21 = 0$ de manera que se muestren el centro $(h, k)$ y el radio $r$ del círculo. Es decir, reescríbela en la forma estándar de un círculo: ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ .