Unidad 7 Estructuras de las expresiones cuadráticas

Lección 1

Focos de aprendizaje

Encontrar patrones en las ecuaciones y las gráficas de funciones cuadráticas.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos las transformaciones de la función $y = x^{2}$ . Encontramos desplazamientos verticales y horizontales, reflexiones y ampliaciones verticales de la parábola. Usamos tablas y nuestra comprensión de las funciones para justificar por qué los cambios en la ecuación transforman la gráfica.

Lección 2

Focos de aprendizaje

Escribir ecuaciones de transformaciones de $f (x) = x^{2}$ .

Encontrar métodos eficientes para graficar transformaciones de $f (x) = x^{2}$ .

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a graficar funciones cuadráticas que se obtienen de una combinación de transformaciones. Encontramos que la forma canónica de la ecuación de una función cuadrática facilita encontrar el vértice e identificar las transformaciones. Escribimos ecuaciones en la forma canónica a partir de tablas y gráficas, usando lo que sabemos sobre las transformaciones y las características de las parábolas.

Lección 3

Focos de aprendizaje

Encontrar el cuadrado de un binomio.

Reconocer un trinomio cuadrado perfecto.

Crear cuadrados perfectos a partir de áreas parciales.

Encontrar las relaciones que hay entre los términos de un trinomio cuadrado perfecto.

Resumen de la lección

En esta lección usamos modelos de área para mostrar cómo obtenemos trinomios cuadrados perfectos al multiplicar binomios. Aprendimos a reconocer un trinomio cuadrado perfecto identificando una relación entre el segundo y el tercer término. También creamos un cuadrado perfecto a partir de los dos primeros términos de un trinomio.

Lección 4

Focos de aprendizaje

Encontrar un proceso para completar el cuadrado que funcione en todas las funciones cuadráticas.

Adaptar diagramas para ser más eficientes al completar el cuadrado.

Resumen de la lección

En esta lección afianzamos un proceso para completar el cuadrado en expresiones de la forma $a x^{2} + b x + c$ cuando $a \neq 1$ . Aprendimos un procedimiento algebraico acompañado de un diagrama de área que respalda nuestro trabajo. También usamos la propiedad distributiva para verificar que la expresión que obtenemos al completar el cuadrado es equivalente a la expresión original.

Lección 5

Focos de aprendizaje

Completar el cuadrado para cambiar la forma de una ecuación cuadrática.

Graficar ecuaciones cuadráticas que están en forma estándar.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a graficar un función cuadrática escrita en forma estándar. Realizamos el proceso de completar el cuadrado como ayuda para identificar las transformaciones y ubicar el vértice. Partiendo de ahí, pudimos usar el método rápido para graficar la parábola.

Lección 6

Focos de aprendizaje

Usar diagramas para multiplicar dos binomios.

Usar diagramas para factorizar un trinomio.

Resumen de la lección

En esta lección usamos diagramas de área para multiplicar binomios y factorizar trinomios. Identificamos una relación entre los números de los factores y los números del trinomio equivalente que nos ayuda a encontrar los factores de una forma más fácil.

Lección 7

Focos de aprendizaje

Encontrar patrones en signos y números que ayuden a factorizar y multiplicar expresiones.

Usar diagramas de área para multiplicar binomios con signos diferentes.

Usar diagramas de área para factorizar trinomios cuando algunos de los términos son negativos.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a multiplicar binomios que tenían un número positivo y uno negativo respectivamente. Descubrimos un patrón útil llamado “diferencia de cuadrados” que ocurre cuando los dos factores (binomios) tienen los mismos números pero signos opuestos. Además, aprendimos a factorizar trinomios que tienen términos positivos y negativos, y usamos patrones de signos y números para asegurarnos de que la expresión factorizada es equivalente al trinomio.

Lección 8

Focos de aprendizaje

Usar diagramas para factorizar trinomios cuando el coeficiente del primer término no es $1$ .

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a factorizar trinomios de la forma $a x^{2} + b x + c$ cuando $a \neq 1$ . A veces los términos tienen un factor común que se puede factorizar, lo que resulta en una expresión con la que es mucho más fácil trabajar. Cuando no hay un factor común, se pueden usar diagramas que nos ayudan a pensar en las combinaciones de números y signos para hacer que la expresión factorizada sea equivalente al trinomio.

Lección 9

Focos de aprendizaje

Encontrar patrones para graficar eficientemente funciones cuadráticas a partir de la forma factorizada.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a usar la forma factorizada de una ecuación cuadrática para graficar parábolas. Aprendimos a encontrar las intersecciones con el eje $x$ a partir de los factores, y luego hallamos la recta de simetría que está en medio de las intersecciones con el eje $x$ . Una vez sabemos cuál es la recta de simetría, podemos encontrar el vértice. Observamos varios patrones que nos ayudaron a usar la forma factorizada de manera eficiente para graficar cuadráticas.

Lección 10

Focos de aprendizaje

Elegir la forma más eficiente de una función cuadrática.

Ser eficiente y preciso al convertir una función cuadrática de una forma a otra.

Ser eficiente y preciso al identificar las características de la gráfica de funciones cuadráticas con una forma determinada.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a tomar decisiones estratégicas acerca de la forma más eficiente para trabajar con la gráfica de una función cuadrática. Pensamos en cuál de las formas nos permite obtener de manera más eficiente características como el vértice, las intersecciones con el eje $x$ , la intersección con el eje $y$ , la ampliación vertical y la recta de simetría. También, consideramos en cuál forma es más eficiente reescribir la forma estándar, teniendo en cuenta que en algunos trinomios no es fácil factorizar y en otros es complicado completar el cuadrado.

Lección 11

Focos de aprendizaje

Solucionar ecuaciones cuadráticas usando gráficas y álgebra.

Asociar la resolución de ecuaciones cuadráticas con las gráficas de las funciones cuadráticas.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos métodos para solucionar ecuaciones cuadráticas. Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden solucionar usando operaciones inversas y encontrando la raíz cuadrada a ambos lados de las ecuaciones. Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden solucionar factorizando y usando la propiedad de producto cero. Algunas ecuaciones se pueden solucionar completando el cuadrado y después usando operaciones inversas. Las ecuaciones cuadráticas que tienen soluciones reales también se pueden solucionar usando gráficas. Además, cada uno de estos métodos algebraicos se relaciona con el uso de gráficas.

Lección 12

Focos de aprendizaje

Entender y usar una fórmula para solucionar ecuaciones cuadráticas.

Resumen de la lección

En esta lección encontramos una fórmula para solucionar ecuaciones cuadráticas, a partir del método de completar el cuadrado. Usamos la fórmula cuadrática para encontrar soluciones exactas y aproximadas de ecuaciones cuadráticas, y relacionamos esas soluciones con las gráficas de las funciones cuadráticas. Aprendimos a reescribir soluciones exactas de manera que las fracciones no tengan factores comunes en el numerador y el denominador, y que las raíces cuadradas no tengan factores que sean cuadrados perfectos.

Lección 13

Focos de aprendizaje

Solucionar ecuaciones cuadráticas con eficiencia y precisión.

Solucionar sistemas de ecuaciones cuadráticas y lineales.

Resumen de la lección

En esta lección comparamos métodos para solucionar ecuaciones cuadráticas. Encontramos que algunas ecuaciones se pueden solucionar mejor con un método y otras ecuaciones se solucionan más eficientemente con otros métodos. Usar tecnología para graficar siempre es una manera útil de comprobar las soluciones.