Lección 5 Si no lo completas, se nos descuadra Practico lo que aprendí

Actividad inicial

Grafica cada función. Ubica con precisión al menos dos puntos a cada lado de la recta de simetría.

1.

$y = 2 {(x + 3)}^{2} - 5$

2.

$y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 5$

Focos de aprendizaje

Completar el cuadrado para cambiar la forma de una ecuación cuadrática.

Graficar ecuaciones cuadráticas que están en forma estándar.

¿Cómo nos puede ayudar completar el cuadrado a graficar parábolas?

Indicaciones de uso de tecnología para la lección de hoy:

Encontrar las coordenadas del vértice con una gráfica: Casio ClassPad Casio fx-9750GIII

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Colchas y gráficas de cuadráticas

Jenny, la sobrina de Óptima, trabaja en la tienda. Se encarga de tomar los pedidos y dibujar los diagramas de las colchas. Si no hay mucho trabajo, Jenny aprovecha para hacer su tarea de matemáticas. Un día está graficando parábolas y descubre que las ecuaciones de su tarea se parecen mucho a un pedido de una pieza de tela. Por ejemplo, Jenny tiene que graficar la ecuación: $y = {(x - 3)}^{2} + 4$ y piensa: “Qué curioso. Este sería un pedido en el que la longitud del lado del cuadrado básico disminuye $3$ y luego agregamos un pedazo pequeño de tela con un área de $4$ . Normalmente no recibimos pedidos como ese, pero aún así tiene sentido. Mejor vuelvo a pensar en parábolas. Mmm...”.

1.

Describe en detalle la parábola que Jenny tiene que graficar.

2.

Jenny se concentra otra vez en su tarea de funciones cuadráticas. Muy a su pesar, se da cuenta de que tiene que graficar: $y = x^{2} - 6 x + 9$ . “¡Ay, no!”, piensa Jenny. “No sé en dónde está el vértice ni tampoco sé identificar las transformaciones de una parábola escrita de esta forma. Ahora, ¿qué se supone que debo hacer?”.

“Un momento, ¿será esta el área de un cuadrado perfecto?”. Usa lo que hiciste en la lección 3, “Construyamos el cuadrado perfecto”, para responder la pregunta de Jenny y justificar tu respuesta.

3.

Jenny dice: “Creo que sé cómo cambiar la forma de mi ecuación cuadrática para poder graficar la parábola. Voy a revisar si puedo hacer que mi ecuación sea un cuadrado perfecto”. La ecuación de Jenny es $y = x^{2} - 6 x + 9$ .

Mira si puedes cambiar la forma de la ecuación, encontrar el vértice y graficar la parábola.

a.

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Forma nueva de la ecuación:

b.

Vértice de la parábola:

c.

Gráfica (con al menos $3$ puntos a cada lado de la recta de simetría ubicados con precisión):

4.

La siguiente ecuación cuadrática que Jenny debe graficar es $y = x^{2} + 4 x + 2$ . ¿Esta expresión se ajusta al patrón de un cuadrado perfecto? ¿Por qué sí o por qué no?

a.

Completa el cuadrado para que la ecuación se pueda escribir en la forma canónica, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

b.

¿La ecuación que escribiste es equivalente a la ecuación original? Si no es así, ¿qué cambios se deben hacer? ¿Por qué?

c.

Identifica el vértice y grafica la parábola. Ubica con precisión al menos tres puntos a cada lado de la recta de simetría.

5.

Jenny esperaba no tener que completar el cuadrado de una ecuación en la que $b$ fuera un número impar. Por supuesto, ese era el siguiente problema. Ayuda a Jenny a encontrar el vértice de la parábola de esta función cuadrática:

$g (x) = x^{2} + 7 x + 10$

6.

No te preocupes si tuviste que pensar mucho en el problema 5. Jenny tiene que hacer un par más:

a.

$g (x) = x^{2} - 5 x + 3$

b.

$g (x) = x^{2} - x - 5$

7.

¡Esto se pone mejor! Ayuda a Jenny a encontrar el vértice de la función cuadrática $h (x) = 2 x^{2} - 12 x + 17$ . Luego, grafica la parábola.

Ecuación:

Vértice:

8.

Este es muy lindo, ¡tienes que intentarlo! Encuentra el vértice y describe la parábola de la gráfica de $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3$ .

¿Listo para más?

Con ayuda de tecnología, experimenta con la gráfica de una función cuadrática escrita en la forma estándar: $y = a x^{2} + b x + c$ . Comprueba qué efecto tiene cambiar $a$ , $b$ o $c$ . ¿Hay patrones que te ayuden a predecir si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo? ¿Puedes predecir las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ , o la ubicación del vértice?

Aprendizajes

Un método para graficar una ecuación cuadrática escrita en forma estándar: $y = a x^{2} + b x + c$ .

Vocabulario

forma canónica
forma estándar de una función cuadrática
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a graficar un función cuadrática escrita en forma estándar. Realizamos el proceso de completar el cuadrado como ayuda para identificar las transformaciones y ubicar el vértice. Partiendo de ahí, pudimos usar el método rápido para graficar la parábola.

Repaso

En próximas lecciones, vas a trabajar con ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática se puede expresar de la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , usando las propiedades del álgebra y de la igualdad. Identifica si cada ecuación representa una ecuación cuadrática. Justifica tu respuesta.

1.

$x (6 x - 11) = 0$

¿Es cuadrática o no?

Justificación:

2.

$6 x^{2} + x = 6 x^{2} - 11$

¿Es cuadrática o no?

Justificación:

3.

$x^{2} - 8 x + 4 = 0$

¿Es cuadrática o no?

Justificación:

Identifica si la tabla representa una función lineal o una función cuadrática. Escribe una ecuación recursiva para cada tabla.

4.

$x$	$f (x)$
$1$	$3$
$2$	$12$
$3$	$27$
$4$	$48$
$5$	$75$

Tipo de función:

Ecuaciones:

5.

$x$	$f (x)$
$1$	$7$
$2$	$10$
$3$	$13$
$4$	$16$
$5$	$19$

Tipo de función:

Ecuaciones: