Lección 6 Factoricemos Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Encuentra todas las parejas de factores de los siguientes números.

a.

$42$

b.

$72$

c.

$54$

d.

$110$

Focos de aprendizaje

Usar diagramas para multiplicar dos binomios.

Usar diagramas para factorizar un trinomio.

¿Cómo podemos usar diagramas para escribir expresiones equivalentes que representen el área de un rectángulo?

Indicaciones de uso de tecnología para la lección de hoy:

Verificar que dos expresiones son equivalentes: Casio ClassPad Casio fx-9750GIII

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Óptima Prime tiene una tienda en la que fabrican y venden cuadrados de tela para hacer colchas. Al comienzo solo fabricaban piezas cuadradas de tela para sus clientes y Óptima se la pasaba haciendo cuadrados perfectos. Las asesoras de servicio al cliente pedían al cliente la longitud, $x$ , del lado de la pieza que iba a comprar y luego informaban al cliente el área del cuadrado de tela. Para calcular el área, usaban la fórmula $A (x) = x^{2}$ .

Óptima se dio cuenta de que muchos clientes que llegaban a la tienda hacían diseños en los que requerían una combinación de cuadrados y rectángulos. Entonces, decidió producir varias líneas nuevas de piezas de tela rectangulares. Cada línea nueva de piezas rectangulares se describe explicando cómo se modificó la pieza cuadrada original. Por ejemplo, para una nueva pieza rectangular se empieza con una pieza cuadrada y se extiende $5$ pulgadas la longitud de un lado y $2$ pulgadas la longitud del otro lado. El departamento de diseño sabe que el área de esta pieza nueva se representa con la ecuación $A (x) = (x + 5) (x + 2)$ , pero no sienten que esta ecuación le dé al cliente una idea real de cuánto más grande es la pieza nueva (p. ej., cuánta más área tiene) comparado con la pieza cuadrada original.

1.

¿Puedes encontrar una expresión diferente que represente el área de esta nueva pieza rectangular? Tendrás que usar un diagrama para convencer a los clientes de que tu fórmula es correcta.

En Colchas de Óptima lanzaron estos nuevos diseños de piezas de tela. Encuentra dos expresiones algebraicas diferentes que representen cada rectángulo y muestra con un diagrama por qué tus representaciones son correctas.

2.

Un lado de la pieza cuadrada original se extendió $3 pulgadas$ y el otro $4 pulgadas$ .

3.

Un lado de la pieza cuadrada original se extendió $4 pulgadas$ .

4.

Cada lado de la pieza cuadrada original se extendió $5 pulgadas$ .

5.

Un lado de la pieza cuadrada original se extendió $2 pulgadas$ y el otro $6 pulgadas$ .

Los clientes comenzaron a pedir diseños de piezas de tela hechas a la medida. Para ello, indican cuánta área adicional quieren además del área original $x^{2}$ . Después de tomar el pedido para un tipo de pieza específico, el personal de servicio al cliente tiene que darle instrucciones específicas al equipo de fabricación sobre cómo hacer el diseño nuevo. En las instrucciones se tiene que explicar cómo extender los lados de una pieza cuadrada para crear la línea nueva de piezas rectangulares.

El departamento de servicio al cliente dejó los siguientes pedidos en tu escritorio. En cada uno, describe cómo hacer las piezas nuevas extendiendo los lados de una pieza cuadrada que tiene inicialmente los lados de longitud $x$ . En tus instrucciones debes incluir diagramas y descripciones algebraicas del área de los rectángulos, en las que uses expresiones para representar las longitudes de los lados.

6.

$x^{2} + 5 x + 3 x + 15$

7.

$x^{2} + 4 x + 6 x + 24$

8.

$x^{2} + 9 x + 2 x + 18$

9.

$x^{2} + 5 x + x + 5$

Algunos de los pedidos los escribieron usando un método algebraico más simplificado. Averigua qué significan estos pedidos. Para hacerlo, encuentra las longitudes de los lados de los rectángulos que tienen esta área. Usa los lados de los rectángulos para escribir expresiones equivalentes que representen el área.

10.

$x^{2} + 11 x + 10$

11.

$x^{2} + 7 x + 10$

12.

$x^{2} + 9 x + 8$

13.

$x^{2} + 6 x + 8$

14.

$x^{2} + 8 x + 12$

15.

$x^{2} + 7 x + 12$

16.

$x^{2} + 13 x + 12$

17.

Cuando encontraste las longitudes de los lados de los rectángulos que tenían un área dada, ¿qué relaciones o patrones observaste?

18.

Un cliente llamó y pidió un rectángulo con un área de $x^{2} + 7 x + 9$ . La asesora de servicio al cliente dijo que en la tienda no podían hacer ese rectángulo. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo? ¿Cómo puedes saber si un rectángulo se puede construir a partir de una área dada?

¿Listo para más?

Estas son unas expresiones retadoras que debes factorizar. Intenta no usar un diagrama. ¡Mira qué puedes descubrir!

a.

$x^{2} + 17 x + 42$

b.

$x^{2} + 27 x + 72$

c.

$x^{2} + 21 x + 54$

d.

$x^{2} + 27 x + 110$

Aprendizajes

Cómo multiplicar binomios usando la propiedad distributiva:

Diagrama:

Algebraicamente:

Cómo factorizar un trinomio escrito en la forma:

Vocabulario

binomio
diferencia de cuadrados
factorizar
factorizar una cuadrática
trinomio
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección usamos diagramas de área para multiplicar binomios y factorizar trinomios. Identificamos una relación entre los números de los factores y los números del trinomio equivalente que nos ayuda a encontrar los factores de una forma más fácil.

Repaso

Usa la propiedad distributiva para multiplicar.

1.

$3 x (x - 7)$

2.

$x (x - 3)$

3.

$- 5 x (x + 4)$

4.

$2 x (x + 1)$

5.

Usa el método que prefieras para solucionar el sistema de ecuaciones.

${\begin{cases} 4 x - 3 y = 12 \\ - 2 x + y = - 8 \end{cases}$