Lección 2 La fórmula para el éxito Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

1.

Soluciona la ecuación completando el cuadrado y usando operaciones inversas:

$3 x^{2} - 6 x - 4 = 0$

2.

Dada $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 4$ , usa tus soluciones del problema 1 para encontrar:

a.

Recta de simetría:

b.

La distancia de la recta de simetría a las intersecciones con el eje $x$ :

Focos de aprendizaje

Entender y usar una fórmula para solucionar ecuaciones cuadráticas.

¿Hay algún método que funcione para solucionar todas las ecuaciones cuadráticas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Al parecer, solucionar una ecuación completando el cuadrado siempre se hace igual. Intentemos generalizar este proceso usando: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ para representar cualquier función cuadrática que tiene intersecciones con el eje $x$ y $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Empieza el proceso de la manera usual, es decir, escribiendo las ecuaciones en forma canónica. Es un poco complicado, pero solo debes hacer con $a$ , $b$ y $c$ lo mismo que hiciste con los números en el último problema.

Estos son algunos pasos para tener en cuenta al usar un diagrama:

1.

¿Cuántos bloques grandes tienes?

2.

Imagina uno de los bloques grandes y los bloques adicionales pequeños. ¿Qué va en cada sección? Ya tienes una sección llena, intenta llenar las otras.

Ahora que está lleno el cuadrado pequeño, ¿qué expresión necesitas restarle a $c$ ? No olvides que tienes $a$ bloques grandes y que el diagrama sólo muestra uno de ellos. Completa el diagrama incluyendo las longitudes de los lados.

3.

a.

¿Cuál es la expresión en forma canónica equivalente a $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ?

b.

¿Cuál es la recta de simetría de la parábola?

c.

¿Cuál es el vértice de la parábola?

4.

Escribe y soluciona la ecuación para $f (x) = 0$ usando únicamente operaciones inversas y algo de álgebra sofisticada.

Soluciona cada ecuación usando la fórmula cuadrática.

5.

$x^{2} + 5 x + 1 = 0$

6.

$x^{2} - 5 x - 5 = 0$

7.

$x^{2} - 6 x - 3 = 0$

8.

$2 x^{2} + 8 x + 5 = 0$

9.

Ahora que conoces la fórmula cuadrática, responde las siguientes preguntas. Anota tus respuestas abajo.

a.

¿Por qué las soluciones de la fórmula cuadrática tienen un “ $\pm$ ”?

b.

¿Es posible que una ecuación cuadrática solo tenga una solución? ¿Qué implicaría esto para la función asociada?

c.

¿Qué significa que el número dentro de la raíz de una solución resulte ser negativo?

¿Listo para más?

Usa la fórmula cuadrática para solucionar esta ecuación: $2 x^{2} + 6 x + 5 = 0$ .

¿Cómo interpretas las soluciones?

Analiza la gráfica de la función relacionada después de encontrar las soluciones que no están definidas como números reales.

Aprendizajes

La fórmula cuadrática:

Vocabulario

fórmula cuadrática
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección encontramos una fórmula para solucionar ecuaciones cuadráticas, a partir del método de completar el cuadrado. Usamos la fórmula cuadrática para encontrar soluciones exactas y aproximadas de ecuaciones cuadráticas, y relacionamos esas soluciones con las gráficas de las funciones cuadráticas. Aprendimos a reescribir soluciones exactas de manera que las fracciones no tengan factores comunes en el numerador y el denominador, y que las raíces cuadradas no tengan factores que sean cuadrados perfectos.

Repaso

1.

¿De qué manera encuentras las intersecciones con el eje $y$ de una ecuación?

2.

¿De qué manera encuentras las intersecciones con el eje $x$ de una ecuación?

Escribe cada una de las siguientes expresiones en forma factorizada.

3.

$x^{2} - x - 72$

4.

$x^{2} - 5 x - 24$

5.

$x^{2} + 14 x + 13$