Lección 8 Cálculos complejos Practico lo que aprendí

Actividad inicial

1.

¿Cuál vector es el inverso aditivo de $\vec{v}$ ?

2.

¿Cuál vector tiene magnitud de $\sqrt{13}$ ?

3.

¿Cuál vector representa la suma de $\vec{v}$ y $\vec{u}$ ?

4.

Dibuja el vector que representa $\vec{v} - \vec{u}$ .

5.

Dibuja el vector que representa $2 \vec{w}$ .

Focos de aprendizaje

Graficar números complejos en el plano complejo.

Usar vectores para sumar, restar y multiplicar números complejos.

Dividir números complejos.

Encontrar la distancia y el punto medio entre dos números complejos.

¿Cómo podemos modelar la aritmética de números complejos en el plano complejo? ¿Qué muestran estos modelos?

¿Cómo podemos visualizar el tamaño de un número complejo?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Es útil ver la aritmética de números complejos en una representación visual. Para esto, vamos a conocer el plano complejo.

Como se muestra en la figura, el plano complejo tiene un eje horizontal que representa el conjunto de los números reales y un eje vertical que representa el conjunto de los números imaginarios. Dado que un número complejo $a + b i$ tiene una componente real y una componente imaginaria, se puede representar en el plano como un punto de coordenadas $(a, b)$ . También se puede representar con un vector de posición que tiene su punto inicial ubicado en el punto $(0, 0)$ y su punto final ubicado en el punto $(a, b)$ , como se muestra en el diagrama. Es conveniente poder alternar entre ambas representaciones geométricas de un número complejo en el plano complejo: a veces como un solo punto y otras veces como un vector.

El módulo de un número complejo

A menudo es útil poder comparar la magnitud de dos números diferentes. Por ejemplo, recibir $$ 25$ en ingresos no pagará una deuda de $$ 45$ , porque $| 25 | < | - 45 |$ . Observa que en este ejemplo usamos el valor absoluto de los números para comparar la magnitud de los ingresos y la deuda. Como en la recta numérica real $- 45$ está más lejos del $0$ que $25$ , la deuda es mayor que los ingresos.

De forma similar, comparamos las magnitudes relativas de números complejos al determinar qué tan lejos están del origen, el punto $(0, 0)$ , en el plano complejo. Nos referimos a la magnitud de un número complejo como su módulo y simbolizamos esta longitud usando la notación $| a + b i |$ .

1.

Encuentra el módulo de cada uno de los números complejos que aparecen en la figura anterior.

2.

Escribe una regla, ya sea en palabras o usando notación algebraica, para encontrar el módulo de cualquier número complejo $a + b i$ .

Sumar y restar números complejos

3.

Experimenta con la representación vectorial de números complejos para desarrollar y justificar una regla algebraica que te permita sumar dos números complejos: $(a + b i) + (c + d i)$ . ¿Cómo las representaciones de la suma de vectores en el plano complejo te ayudan a explicar tu regla algebraica para sumar números complejos?

4.

¿Cómo representarías el inverso aditivo de un número complejo en el plano complejo? ¿Cómo representarías el inverso aditivo algebraicamente?

5.

Piensa en la resta como la suma del inverso aditivo de un número. Ahora usa la representación vectorial de números complejos para desarrollar y justificar una regla algebraica que te permita restar dos números complejos: $(a + b i) - (c + d i)$ . Piensa en las representaciones del inverso aditivo de un número complejo y de la suma de vectores en el plano complejo. ¿Cómo te ayudan esas representaciones a explicar tu regla algebraica para restar números complejos?

Multiplicar números complejos

Una manera de pensar la multiplicación en el plano complejo es considerar el primer factor en la multiplicación como un factor de escala.

6.

Da algunos ejemplos de multiplicación de un número complejo por un factor de escala que sea un número real: $a (c + d i)$ . Por ejemplo, ¿qué le pasa a la representación vectorial de un número complejo cuando el factor de escala $a$ es $4$ ?, ¿cuando es $\frac{1}{2}$ ? o ¿cuando es $- 2$ ?

7.

Da algunos ejemplos de multiplicación de un número complejo por un factor de escala que sea un número imaginario: $b i (c + d i)$ . Por ejemplo, ¿qué le pasa a la representación vectorial cuando el factor de escala $b i$ es $i$ ?, ¿cuando es $2 i$ ? o ¿cuando es $- 3 i$ ?

8.

Experimenta con la representación vectorial de números complejos para justificar la siguiente regla para multiplicar números complejos:

$(a + b i) (c + d i) = a (c + d i) + b i (c + d i) = a c - b d + (a d + b c) i$ .

9.

En la regla anterior, ¿cómo se ven las relaciones geométricas que descubriste en los problemas 6, 7 y 3?

El conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo $a + b i$ es el número complejo $a - b i$ . El conjugado de un número complejo se representa con la notación $\overset{―}{a + b i}$ .

10.

Muestra un ejemplo de un número complejo y su conjugado usando representaciones vectoriales en el plano complejo.

11.

Muestra cómo encontrar la suma de un número complejo y su conjugado usando representaciones vectoriales en el plano complejo.

12.

Muestra cómo encontrar el producto de un número complejo y su conjugado usando representaciones vectoriales en el plano complejo. (Usa las relaciones geométricas que descubriste en los problemas del 6 al 8 para orientar tu trabajo).

13.

Si $z$ es un número complejo y $\bar{z}$ es su conjugado, ¿cómo están relacionados los módulos $| z |$ y $| \bar{z} |$ ?

14.

Usa argumentos geométricos o algebraicos para completar y justificar las siguientes afirmaciones acerca de cualquier número complejo $a + b i$ :

La suma de un número complejo y su conjugado siempre es el número real:

El producto de un número complejo y su conjugado siempre es el número real:

La división de números complejos

Dividir un número complejo entre un número real es lo mismo que multiplicar el número complejo por el inverso multiplicativo del divisor. Es decir, $\frac{a + b i}{c} = \frac{1}{c} (a + b i) = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} i$ . Por lo tanto, la división de un número complejo entre un número real se puede pensar en términos de la multiplicación del número complejo por un factor de escala de valor real. Esta idea la exploramos en el problema 6.

También observamos que multiplicar un número complejo por su conjugado siempre nos da un número real como resultado. Este hecho nos permite transformar una división entre un número complejo en una división equivalente entre un número real.

15.

Explica por qué $\frac{a + b i}{c + d i}$ es equivalente a $\frac{a + b i}{c + d i} \cdot \frac{c - d i}{c - d i}$ .

16.

Usa esta idea para encontrar el cociente $\frac{3 + 5 i}{4 + 2 i}$ .

En los problemas anteriores hemos usado una representación vectorial de números complejos en el plano complejo. En los siguientes problemas, representaremos números complejos como puntos en el plano complejo.

Cómo encontrar la distancia entre dos números complejos

Para hallar la distancia entre dos puntos en una recta numérica real, debemos encontrar el valor absoluto de la diferencia entre sus coordenadas. (Ilustra esta idea con un par de ejemplos).

De manera similar, definimos la distancia entre dos números complejos en el plano complejo como el módulo de la diferencia entre ellos.

17.

Encuentra la distancia entre los dos números complejos que están marcados en el plano complejo.

Cómo encontrar el promedio de dos números complejos

El promedio de dos números reales se ubica en el punto medio del segmento que une los dos números en la recta numérica real. (Ilustra esta idea con un par de ejemplos).

De manera similar, definimos el promedio de dos números complejos como el punto medio del segmento que une los dos números en el plano complejo.

18.

Encuentra el promedio de los dos números complejos que están marcados en el plano complejo.

¿Listo para más?

Ahora considera este reto: Escribe una fórmula algebraica para dividir números complejos.

Aprendizajes

Cómo sumar números complejos usando vectores:

Cómo restar números complejos usando vectores:

Cómo multiplicar números complejos usando vectores:

Cómo dividir números complejos:

La distancia entre números complejos

Vocabulario

inverso: aditivo, multiplicativo
módulo
plano complejo
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección usamos fórmulas y vectores para justificar las operaciones básicas con números complejos. También representamos números complejos como vectores y puntos en el plano complejo. Mediante la representación vectorial pudimos analizar el tamaño de un número complejo, llamado el módulo. Además aprendimos a dividir números complejos, a encontrar la distancia entre dos números complejos y a calcular el promedio de dos números complejos.

Repaso

Usa la gráfica para escribir la ecuación de la recta.

1.

2.

3.

Identifica la mejor estrategia para solucionar cada ecuación. Después, soluciónala.

a.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

b.

$x^{2} + 6 x + 4 = 0$

c.

$x^{2} + x - 5 = 0$