Lección 4 Dirigiendo nuestro foco Desarrollo mi comprensión

Prepárate

Grafica cada conjunto de funciones en los mismos ejes de coordenadas. Describe en qué se parecen las gráficas y en qué se diferencian.

1.

$y = x^{2}$
$y = 2 x^{2}$
$y = 4 x^{2}$

2.

$y = \frac{1}{4} x^{2}$
$y = - x^{2}$
$y = - 4 x^{2}$

3.

$y = \frac{1}{4} x^{2}$
$y = x^{2} - 2$
$y = \frac{1}{4} x^{2} - 2$

4.

$y = x^{2}$
$y = - x^{2}$
$y = {(x + 2)}^{2}$
$y = - {(x + 2)}^{2}$

Alístate

Los puntos $F (0, 1)$ , $D (0, - 1)$ , $(1, y_{1})$ , $(2, y_{2})$ , $(3, y_{3})$ , $(4, y_{4})$ y el origen, $(0, 0)$ , están marcados en el diagrama. Además, las rectas punteadas $x = - 1$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ y $x = 4$ se graficaron para recordarte que los puntos que buscas están en algún lugar de esas rectas. Llama al punto $F$ el foco y a la recta $y = - 1$ la directriz.

5.

La definición geométrica de una parábola dice que la distancia del foco $F$ a un punto $P$ , que está en la parábola, y la distancia del punto $P$ a la directriz deben ser iguales.

De acuerdo con esta definición, ¿es $(0, 0)$ un punto de la parábola que se está construyendo en el diagrama? Justifica tu respuesta.

6.

Los puntos $G$ , $H$ , $I$ y $J$ no se han marcado con pares ordenados en el diagrama. Escribe las coordenadas de $G$ , $H$ , $I$ y $J$ .

7.

Usa una regla para dibujar un segmento de recta de $F$ a $(1, y_{1})$ . Después, dibuja un segmento de recta vertical de $(1, y_{1})$ a la recta $y = - 1$ . ¿Qué deberían tener los dos segmentos de recta en común?

8.

Escribe una ecuación que relacione las longitudes de los dos segmentos de recta. Calcula la distancia de $F$ a $(1, y_{1})$ y la distancia de $(1, y_{1})$ a la recta $y = - 1$ .

9.

¿Cuál es el valor de $y_{1}$ en el punto marcado como $(1, y_{1})$ ?

10.

¿Cuáles son los valores de $y_{2}$ , $y_{3}$ y $y_{4}$ en los pares ordenados que se muestran en el diagrama?

11.

Usando la definición geométrica, escribe la ecuación de esta parábola para cualquier valor.

Usa el punto $F (0, 1)$ .

Sea $P (x, y_{x})$ cualquier punto de la parábola y $(y_{x} + 1)$ la distancia de $P (x, y_{x})$ a la directriz.

¡Vamos!

Completa el cuadrado para encontrar el centro, $(h, k)$ , y el radio, $r$ , del círculo.

12.

$x^{2} + y^{2} + 4 y - 12 = 0$

13.

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 3 = 0$

14.

$x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 y - 5 = 0$

15.

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 10 y - 2 = 0$

16.

$x^{2} + y^{2} - 6 y - 7 = 0$

17.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y + 6 = 0$

18.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 72 = 0$

19.

$x^{2} + y^{2} + 12 x + 6 y - 59 = 0$