Lección 9 Simulaciones Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Encontrar un intervalo que probablemente contenga la proporción de una población a partir de una muestra.

¿Cómo sabemos que hemos encontrado la proporción real de una población en una distribución de muestras?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Alyce, Javier y Verónica siguen recolectando más objetos en la zona arqueológica. Javier continúa interesado en la proporción de objetos que tienen más de $1,000$ años. Mientras recolecta esta información, observó que cuanto más se aleja de la torre central, la proporción de objetos que tienen más de $1,000$ años decrece. Durante la búsqueda, Verónica descubrió una bolsa de objetos que no tienen identificado el sector del que provienen. Un poco frustrada, revisa los objetos de la bolsa y observa que $17$ de $30$ objetos de la muestra tienen más de $1,000$ años.

1.

¿De cuáles sectores crees que es posible que provenga la bolsa? Justifica tu respuesta.

Alyce se pregunta si podrían usar su trabajo del otro día como ayuda para predecir de qué sector proviene la bolsa de objetos. Ella se pregunta si podrían hacer una simulación tomando muestras de $30$ objetos de cada sector que ya conocen y usar esto como ayuda para predecir cuál fue el sector del que provinieron.

Para simular esto, Alyce sugiere preparar bolsas con fichas que representen la proporción de objetos que tienen más de $1,000$ años en cada sector. Luego, le asignan a cada persona uno de los sectores. Por ejemplo, se pueden poner $50$ fichas en una bolsa, $46$ negras y $4$ blancas. Después se saca una ficha de la bolsa, se devuelve y se saca otra ficha, y se repite este proceso hasta tener una muestra de $30$ objetos. Como lo hicieron en el trabajo del otro día, podrían tomar muestras de $30$ una y otra vez para crear una distribución de estas proporciones.

2.

Simula tomar muestras de $30$ objetos del sector que te asigne tu profesor. Usa estos datos para graficar una distribución muestral de tus proporciones ( $\hat{p}$ ). Haz la simulación suficientes veces para obtener una idea clara de la distribución. Las siguientes tablas tienen espacio para que anotes tus resultados.

# de objetos que tienen $1,000$ años	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Frecuencia
Proporción

# de objetos que tienen $1,000$ años	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$
Frecuencia
Proporción

# de objetos que tienen $1,000$ años	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$
Frecuencia
Proporción

Con base en tu simulación, ¿crees probable que la bolsa de objetos que estaba tirada provenga de tu sector? Usa tus resultados para explicar por qué crees o no crees probable que la bolsa provenga de tu sector.

3.

Mira las distribuciones que hicieron otros compañeros de la clase para otros sectores, y con base en eso, contesta estas preguntas:

¿Hay sectores de los que estás casi seguro de que la bolsa no proviene?

¿De cuáles sectores crees que pudo haber provenido la bolsa?

¿Qué evidencia hay en las gráficas de las distribuciones para hacer tu afirmación?

4.

Si queremos describir las proporciones más probables de una población a partir de una muestra, podemos usar lo que llamamos un margen de error. Expresamos el conjunto de valores probables como un intervalo. Por ejemplo, si piensas que es probable que la bolsa de objetos provenga de los sectores que contienen proporciones de objetos entre $.48$ y $.86$ , escribirías esto como $(.48, .86)$ . Esto significa que es probable que esta muestra de objetos provenga de cualquier población que tenga una proporción real de objetos de más de $1,000$ años entre $.48$ y $.86$ . ¿Qué crees que le sucedería a este intervalo de valores probables de $p$ si la bolsa tuviera una muestra más grande de objetos? Justifica tu respuesta.

5.

Javier piensa que usar simulaciones para encontrar un intervalo de valores probables le toma mucho tiempo. Se pregunta si su trabajo anterior con el teorema del límite central y las distribuciones muestrales le puede ayudar a encontrar una manera de crear un intervalo de valores probables para la proporción de la población $p$ . Alyce encontró otra bolsa de $100$ objetos en la que hay $64$ objetos que tienen más de $1,000$ años y que no tiene anotado el sector en donde la encontraron.

a.

Diseña una estrategia que podrías usar para encontrar un intervalo de valores de $p$ que sean razonables para esta bolsa.

b.

Sector 6

$μ_{\hat{p}} = .36 σ_{\hat{p}} = .047$

Sector 5

$μ_{\hat{p}} = .48 σ_{\hat{p}} = .049$

Sector 4

$μ_{\hat{p}} = .60 σ_{\hat{p}} = .051$

Sector 3

$μ_{\hat{p}} = .74 σ_{\hat{p}} = .044$

Sector 2

$μ_{\hat{p}} = .86 σ_{\hat{p}} = .04$

Sector 1

$μ_{\hat{p}} = .92 σ_{\hat{p}} = .026$

En estas simulaciones se tomaron $1, 000$ muestras de tamaño $100$ de cada sector. ¿El intervalo que encontraste en el problema anterior es razonable de acuerdo a estas simulaciones? ¿Tu intervalo es muy largo y tiene valores que no son razonables? Ajusta tu estrategia para que sea más probable que te proporcione un intervalo de valores razonables de acuerdo a estas simulaciones.

6.

Si fueras a tomar una muestra aleatoria de $100$ objetos del sector que contiene $.92$ objetos de más de $1,000$ años:

a.

¿Qué tan probable es que obtengas una muestra que contiene $64$ o menos objetos que tienen más de $1, 000$ años?

b.

Con base en tu respuesta, ¿es probable que una bolsa de $100$ objetos que contenga $64$ objetos que tienen más de $1, 000$ años provenga de este sector? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Listo para más?

¿Qué pasaría si la muestra del sector que tiene $.92$ objetos de más de $1,000$ años solo tuviera $30$ objetos? ¿Puedes usar el teorema del límite central para encontrar la probabilidad de que haya $25$ objetos o menos en esta muestra? ¿Por qué sí o por qué no?

Aprendizajes

Margen de error:

Longitud del intervalo:

Vocabulario

intervalo de valores probables
margen de error
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a encontrar un intervalo que probablemente contiene la proporción de una población a partir de la proporción de una muestra. Para ello usamos un margen de error. Descubrimos que el tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande para que cumpla las condiciones del teorema del límite central y poder usar la fórmula.

Repaso

1.

Reescribe la expresión racional en la forma $\frac{a (x)}{b (x)} = q (x) + \frac{r (x)}{b (x)}$ .

$\frac{5 x^{3} + 13 x^{2} + 14 x - 13}{5 x - 2}$

2.

Encuentra $\sin (\tan^{- 1} (\sqrt{3}))$ .