Lección 11 La forma sigue a la función Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Usar distintas formas de funciones lineales y exponenciales para escribir ecuaciones con eficiencia.

Usar la información que dan las ecuaciones, en sus distintas formas, para graficar funciones.

¿Cómo uso las formas de las ecuaciones para graficar funciones lineales y exponenciales?

¿Cuál es el propósito de tener distintas formas de ecuaciones?

¿Cómo escojo cuál forma es la más eficiente?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Hasta ahora hemos visto varias formas que pueden tener las ecuaciones lineales y exponenciales. Estas son algunas de esas formas:

Funciones lineales:

Ecuación	Nombre
$y = \frac{1}{2} x + 1$	Forma pendiente-punto de intersección $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con el eje $y$
$y = \frac{1}{2} (x - 4) + 3$	Forma punto-pendiente $y = m (x - x_{1}) + y_{1}$ , donde $m$ es la pendiente y $(x_{1}, y_{1})$ son las coordenadas de un punto en la recta
$f (0) = 1, f (n) = f (n - 1) + \frac{1}{2}$	Fórmula recursiva $f (n) = f (n - 1) + D$ , Dado un valor inicial $f (a)$ $D$ = diferencia constante en términos consecutivos (se usa solo para funciones discretas)

Ecuación

Nombre

$y = \frac{1}{2} x + 1$

Forma pendiente-punto de intersección

$y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con el eje $y$

$y = \frac{1}{2} (x - 4) + 3$

Forma punto-pendiente

$y = m (x - x_{1}) + y_{1}$ , donde $m$ es la pendiente y $(x_{1}, y_{1})$ son las coordenadas de un punto en la recta

$f (0) = 1, f (n) = f (n - 1) + \frac{1}{2}$

Fórmula recursiva

$f (n) = f (n - 1) + D$ ,

Dado un valor inicial $f (a)$

$D$ = diferencia constante en términos consecutivos (se usa solo para funciones discretas)

Funciones exponenciales:

Ecuación	Nombre
$y = 10 {(3)}^{x}$	Forma explícita $y = a {(b)}^{x}$
$f (0) = 10, f (n + 1) = 3 f (n)$	Fórmula recursiva $f (n + 1) = R f (n - 1)$ Dado un valor inicial $f (a)$ $R$ = razón constante entre términos consecutivos (se usa solo para funciones discretas)

Ecuación

Nombre

$y = 10 {(3)}^{x}$

Forma explícita

$y = a {(b)}^{x}$

$f (0) = 10, f (n + 1) = 3 f (n)$

Fórmula recursiva

$f (n + 1) = R f (n - 1)$

Dado un valor inicial $f (a)$

$R$ = razón constante entre términos consecutivos (se usa solo para funciones discretas)

Conocer distintas formas de escribir y graficar ecuaciones es como tener una caja de herramientas matemáticas. Puedes seleccionar la herramienta que necesites para el trabajo, o, en este caso, la forma de la ecuación que te haga el trabajo más fácil. Cualquier maestro de obra te dirá que cuantas más herramientas tengas, mejor. En esta actividad, trabajaremos con nuestras herramientas matemáticas para asegurarnos de que sabemos usarlas todas con eficiencia. Mientras modelas las situaciones de los siguientes problemas, piensa en cuál es la información importante del problema y en las conclusiones que puedes sacar de esta. ¿Es la función lineal o exponencial? ¿El problema te da la pendiente, un punto, una razón, una intersección con el eje $y$ ? ¿La función es discreta o continua? ¡Esta información te ayuda a identificar las mejores herramientas y a ponerte en marcha!

C.

ninguna

d.

El dominio de la función es:

3.

a.

Escribe la ecuación de la sucesión geométrica cuya razón constante es $5$ y cuyo primer término es $- 3$ . ¿En cuál forma escribiste la ecuación?, ¿por qué decidiste usar esa forma?

b.

Esta función es:

A.

lineal

¿En cuál forma escribiste la ecuación?, ¿por qué decidiste usar esa forma?

b.

Esta función es:

A.

lineal

B.

exponencial

C.

ninguna

c.

Esta función es

A.

continua

B.

discreta

C.

ninguna

d.

El dominio de la función es:

6.

Para la feria de ciencias, Yessica cultiva semillas para averiguar con qué fertilizante crecen más rápido. A ella se le ocurre usar una bebida energética para fertilizar la planta. (Ella piensa que así como las bebidas energéticas estimulan a la gente, también pueden tener ese efecto en las plantas). Estos son los datos que muestran la altura de la planta en cada semana.

Semana	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Altura (cm)	$1.7$	$2.9$	$4.1$	$5.3$	$6.5$

a.

Escribe la ecuación que modela el crecimiento de la planta con respecto al tiempo.

¿En cuál forma escribiste la ecuación?, ¿por qué decidiste usar esa forma?

b.

Esta función es:

A.

lineal

B.

exponencial

C.

ninguna

c.

Esta función es:

A.

continua

B.

discreta

C.

ninguna

d.

El dominio de la función es:

Una ecuación nos da información que podemos usar para graficar funciones. Selecciona la información clave de cada ecuación y úsala para graficar la función.

7.

$y = \frac{1}{2} x - 5$

¿Qué sabes de la ecuación que te puede ayudar a graficar la función?

8.

$y = 2^{n}$

¿Qué sabes de la ecuación que te puede ayudar a graficar la función?

9.

$y = - 2 (x + 6) + 8$

¿Qué sabes de la ecuación que te puede ayudar a graficar la función?

10.

$f (1) = - 5, f (n) = f (n - 1) + 1$

¿Qué sabes de la ecuación que te puede ayudar a graficar la función?

¿Listo para más?

Ahora considera este reto: escoge uno de los siguientes escenarios para escribir tu propio problema.

Escribe un contexto que involucre una función lineal continua en el que la forma pendiente-punto de intersección sea la forma más eficiente de modelar el contexto.
Escribe una tabla para una función lineal discreta en la que una ecuación recursiva sea la forma más eficiente de modelar el contexto.
Escribe un contexto para una función exponencial continua en el que una ecuación explícita sea la forma más eficiente de modelar el contexto.

Aprendizajes

Funciones lineales:

Nombre	¿Qué información es útil para escribir la ecuación?	Ecuación
Forma pendiente-punto de intersección $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con el eje $y$		$y = \frac{1}{2} x + 1$
Forma punto-pendiente $y = m (x - x_{1}) + y_{1}$ , donde $m$ es la pendiente y $(x_{1}, y_{1})$ son las coordenadas de un punto en la recta		$y = \frac{1}{2} (x - 4) + 3$
Fórmula recursiva $f (n) = f (n - 1) + D$ , Dado un valor inicial $f (a)$ $D$ = diferencia constante de términos consecutivos (se usa solo para funciones discretas)		$f (0) = 1$ , $f (n) = f (n - 1) + \frac{1}{2}$

Nombre

¿Qué información es útil para escribir la ecuación?

Ecuación

Forma pendiente-punto de intersección

$y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con el eje $y$

$y = \frac{1}{2} x + 1$

Forma punto-pendiente

$y = m (x - x_{1}) + y_{1}$ , donde $m$ es la pendiente y $(x_{1}, y_{1})$ son las coordenadas de un punto en la recta

$y = \frac{1}{2} (x - 4) + 3$

Fórmula recursiva

$f (n) = f (n - 1) + D$ ,

Dado un valor inicial $f (a)$

$D$ = diferencia constante de términos consecutivos

(se usa solo para funciones discretas)

$f (0) = 1$ ,

$f (n) = f (n - 1) + \frac{1}{2}$

Funciones Exponenciales:

Nombre	¿Qué información es útil para escribir la ecuación?	Ecuación
Forma explícita $y = a {(b)}^{x}$		$y = 10 {(3)}^{x}$
Fórmula recursiva $f (n) = R f (n - 1)$ Dado un valor inicial $f (a)$ $R$ = razón constante entre términos consecutivos (se usa solo para funciones discretas)		$f (0) = 10$ , $f (n) = 3 f (n - 1)$

Nombre

¿Qué información es útil para escribir la ecuación?

Ecuación

Forma explícita

$y = a {(b)}^{x}$

$y = 10 {(3)}^{x}$

Fórmula recursiva

$f (n) = R f (n - 1)$

Dado un valor inicial $f (a)$

$R$ = razón constante entre términos consecutivos

(se usa solo para funciones discretas)

$f (0) = 10$ ,

$f (n) = 3 f (n - 1)$

Resumen de la lección

En esta lección resumimos todo lo relacionado con las formas de ecuaciones de funciones lineales y exponenciales. Practicamos cómo seleccionar estratégicamente una forma de ecuación que fuera adecuada para el contexto, identificando el tipo de cambio y los valores iniciales, dondequiera que estuvieran.

Repaso

1.

Compara las funciones $h (x) = 5 {(2)}^{x}$ y $g (x) = 5 + 2 x$ . ¿En qué se parecen y en qué son diferentes?

a.

¿En qué se parecen y en qué son diferentes las gráficas de las funciones?

b.

Compara sus intersecciones con el eje $y$ . ¿Qué puedes decir?

c.

¿Qué tipo de funciones son $h (x)$ y $g (x)$ ?

d.

¿Qué tipo de crecimiento tiene cada función?

Resuelve cada ecuación. Muestra lo que hiciste y justifica tus pasos.

2.

$x + 6 = 32$

3.

$- 4 x = 52$

4.

$7 x = - 35$