Lección 4 Los inter-medios Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

1.

Encuentra los términos que faltan en esta sucesión geométrica:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$5$			$320$

2.

Escribe una ecuación explícita de la sucesión geométrica dada en la tabla del problema 1.

3.

Sé que $2^{3} \cdot 2^{5} =$ porque .

4.

En general, $2^{m} \cdot 2^{n} =$

Focos de aprendizaje

Explorar el significado de una fracción como exponente.

¿Cómo se puede encontrar el valor de salida de una función exponencial si la entrada es un número que está entre dos números enteros consecutivos?

Dado que el dominio de una función exponencial continua incluye todos los números racionales, ¿cómo interpretamos un exponente fraccionario?

Indicaciones de uso de tecnología para la lección de hoy:

Convertir exponentes racionales a radicales: Casio ClassPad Casio fx-9750GIII

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En lecciones anteriores, has trabajado con contextos para funciones exponenciales continuas, como la descomposición de un medicamento en el torrente sanguíneo o los intereses de una cuenta bancaria a lo largo del tiempo. Como el tiempo es continuo, debemos comenzar a pensar en los números que se encuentran entre valores como $2^{2}$ y $2^{3}$ en una función exponencial. Estos números son bastante interesantes, así que vamos a explorarlos un poco para ver qué podemos descubrir sobre estos “intermedios”.

Comencemos con algo que conocemos:

1.

Completa la siguiente tabla de una sucesión geométrica definida recursivamente así: $f (0) = 4$ y $f (n) = 2 \cdot f (n - 1)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$4$

2.

Escribe una ecuación explícita de la función definida por la tabla.

3.

Marca estos puntos en el plano que aparece al final de esta actividad y dibuja la gráfica de $f (x)$ .

Travis y Tehani son dos estudiantes de matemáticas curiosos. Ellos saben que una sucesión geométrica es discreta y su dominio solo tiene números enteros. Se preguntan qué pasaría si esta tabla representara unos puntos de una función exponencial continua. Luego, podrían crear una tabla con más entradas, tal vez con un punto en el medio entre cada par de puntos consecutivos de la tabla. Hay varias formas en las que podrían pensar en cómo completar estos pasos intermedios.

Travis dice:

“Si la función se duplica cada vez que $x$ aumenta en $1$ , entonces la mitad de ese crecimiento ocurre entre $0$ y $\frac{1}{2}$ , y la otra mitad ocurre entre $\frac{1}{2}$ y $1$ .

Entonces, por ejemplo, el valor de la salida para la entrada $x = \frac{1}{2}$ es el promedio de los valores de las salidas para las entradas $x = 0$ y $x = 1$ ”.

4.

En la siguiente tabla, completa los datos que ya calculaste y luego decide cómo podrías usar la estrategia de Travis para completar los datos que faltan. También marca los datos de Travis en el plano que se muestra en el problema 12.

$x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$	$3$	$\frac{7}{2}$	$4$
$f (x)$	$4$

5.

Da tu opinión sobre el razonamiento de Travis. ¿Cómo se compara con el resultado de la tabla generada en el problema 1? ¿Para qué tipo de función aplicaría este razonamiento?

Tehani sugiere que completen los datos de la tabla así:

“Me di cuenta de que la función aumenta por el mismo factor cada vez que $x$ aumenta $1$ . Creo que esta propiedad también debe mantenerse en otros semintervalos que tengan el mismo tamaño”.

6.

En la tabla de abajo, completa los datos que ya calculaste en el problema 1 y luego decide cómo podrías usar la nueva estrategia de Tehani para completar los datos que faltan. Al igual que en la tabla del problema 1, cada entrada debe multiplicarse por algún factor constante para obtener la siguiente entrada y ese factor debe producir los mismos resultados que los que ya están en la tabla. Usa este factor constante para completar la tabla. También marca los datos de Tehani en el plano que se muestra en el problema 12.

La tabla de Tehani:

$x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$	$3$	$\frac{7}{2}$	$4$
$f (x)$	$4$

7.

¿Qué pasaría si Tehani quisiera encontrar valores para la función cada tercio del intervalo en vez de cada mitad? ¿Qué factor constante usaría para que cada tercio de intervalo sea consistente con la función que se duplica cuando $x$ aumenta en $1$ ? Usa este multiplicador para completar la siguiente tabla.

$x$	$0$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$1$	$\frac{4}{3}$	$\frac{5}{3}$	$2$	$\frac{7}{3}$	$\frac{8}{3}$	$3$
$f (x)$

8.

¿Qué número usaste como factor constante para completar la tabla en el problema 6?

9.

¿Qué número usaste como factor constante para completar la tabla en el problema 7?

Haz una pausa y reflexiona

10.

Tehani y Travis saben que los valores en sus tablas deben ajustarse a la regla de función que se escribió en el problema 2. Por ejemplo:

a.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = \underset{―}{}$ y $f (\frac{3}{2}) = 4 \cdot 2^{\frac{3}{2}} = \underset{―}{}$

b.

$f (\frac{1}{3}) = 4 \cdot 2^{\frac{1}{3}} = \underset{―}{}$ y $f (\frac{2}{3}) = 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = \underset{―}{}$

c.

¿Qué parece indicar esto sobre el valor de $2^{\frac{1}{2}}$ ?

d.

¿Qué parece indicar esto sobre el valor de $2^{\frac{1}{3}}$ ?

11.

Da una descripción detallada de cómo estimarías el valor de salida, $f (x)$ , para $x = \frac{5}{3}$ .

12.

Usa la gráfica para registrar la información que se pide en los problemas 4 y 6.

¿Listo para más?

Considera tu trabajo previo con relaciones exponenciales y haz todo lo posible para inventar una historia que corresponda a la expresión $50 {(1.03)}^{\frac{1}{2}}$ .

Aprendizajes

En el pasado he usado números enteros positivos como exponentes. Por ejemplo:

Hoy descubrí un significado para los exponentes racionales que son fracciones no enteras, como en este ejemplo:

Puedo justificar que $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ así:

En general, nuestra nueva propiedad de los exponentes se puede resumir así:

Vocabulario

conjuntos de números (sistemas numéricos)
potencia racional (potencia fraccionaria)
raíz cuadrada
raíz cúbica
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos el significado de usar una fracción como exponente. Comenzamos con una sucesión geométrica y encontramos una manera de ajustar los datos en los puntos intermedios entre las entradas de números enteros de forma que la sucesión siguiera teniendo un comportamiento multiplicativo. Trabajamos con distintas entradas fraccionarias y le dimos sentido al uso de varias fracciones como exponentes.

Repaso

1.

En cada caso, encuentra los dos términos siguientes de la sucesión e indica si la sucesión es aritmética o geométrica. Luego, escribe una ecuación explícita de la sucesión.

a.

$4, 12, 36, \dots$

b.

$4, 12, 20, \dots$

c.

$160, 40, 10, \dots$

d.

$20, 40, 60, \dots$

Reescribe cada expresión usando las reglas de los exponentes.

2.

$7^{2} \cdot 7^{3}$

3.

$\frac{13^{5}}{13^{2}}$

4.

$234^{0}$

5.

$3^{- 7}$