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Lección 2 Jardinería por segmentos Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Encontrar el punto medio de un segmento y un punto que divida el segmento de acuerdo a una razón dada.

¿Cómo encuentro el punto medio de un segmento cuando solo tengo las coordenadas de sus extremos?

¿Cómo divido un segmento de recta que está en una cuadrícula de acuerdo a una proporción dada?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

La familia de Malik compró una casa nueva que tiene un jardín sin terminar. Ellos hicieron el siguiente mapa del jardín:

irregular hexagon with line segments ((-9,6) to (3,10)), ((1,5) to (4,11)), and ((-8,5) to (2,-10)) in the interior. x–12–12–12–10–10–10–8–8–8–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444666888101010121212141414y–12–12–12–10–10–10–8–8–8–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444666888101010121212141414000(4, 11)(4, 11)(4, 11)(1, 5)(1, 5)(1, 5)(3, 10)(3, 10)(3, 10)(-9, 6)(-9, 6)(-9, 6)(-8, 5)(-8, 5)(-8, 5)(2, -10)(2, -10)(2, -10)

Malik y su familia van a usar el mapa para completar el jardín. Planean usar varas y cuerdas (que se representan con puntos y con rectas punteadas) para saber dónde poner el césped, las flores o una huerta. Quieren empezar con una huerta que sea paralela a la cerca que se muestra en la parte de arriba.

1.

Ellos ubican la primera vara en y la vara que está al final de la huerta en . Quieren marcar la mitad de la huerta con otra vara. ¿Dónde se debe ubicar la vara que está en el punto medio del segmento que une las dos varas de los extremos? Describe con un diagrama tu estrategia para encontrar este punto.

Line segment from (-9,6) to (3,10). x–10–10–10–5–5–5555101010y555101010000(3, 10)(3, 10)(3, 10)(-9, 6)(-9, 6)(-9, 6)

Punto medio:

Malik descubrió el punto medio. Razonó así: “Tiene sentido que el punto medio corresponda a la mitad horizontal y la mitad vertical. Por eso, dibujé un triángulo rectángulo y partí el lado horizontal por la mitad y el lado vertical por la mitad, así:”

Malik concluyó: “Marqué el punto medio exactamente en . Lo único extraño es que sé que la base del triángulo grande es y su altura es , por eso el punto medio parecería ser ”.

Line segment from (-9,6) to (3,10) broken into triangles representing slope. x–10–10–10–5–5–5555y555101010000

2.

Explícale a Malik por qué el razonamiento que usó para concluir que el punto medio era es casi correcto. También explícale cómo puede completar su razonamiento usando las coordenadas de los puntos extremos para concluir que es en realidad el punto medio.

Sapana, la hermana de Malik, miró el diagrama y dijo: “¡Hey!, yo hice el mismo dibujo, pero vi que se formaron dos triángulos pequeños que son congruentes. Como no estaba segura de cuál era el punto medio, lo llamé . Después, lo usé para escribir una expresión de las longitudes de los lados de los triángulos pequeños. Por ejemplo, descubrí que la base del triángulo de abajo era ”.

3.

Usando la estrategia de Sapana, marca los demás catetos de los dos triángulos pequeños.

Line segment from (-9,6) to (3,10) broken into triangles representing slope.x–10–10–10–5–5–5555y555101010000A = (-9, 6)A = (-9, 6)A = (-9, 6)B = (3, 10)B = (3, 10)B = (3, 10)(x, y)(x, y)(x, y)

Sapana dijo: “Después de marcar los triángulos, escribí ecuaciones que resultaron de igualar las bases e igualar las alturas”.

4.

¿La estrategia de Sapana funciona? Muestra por qué sí o por qué no.

5.

Escoge una estrategia y úsala para encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son y .

6.

Usa cualquier estrategia para encontrar el punto medio del segmento que está entre y .

Line segment from (x1,y1) to (x2,y2) broken into triangles representing slope.(x(x(x111, y, y, y111)))(x(x(x222, y, y, y222)))

Haz una pausa y reflexiona

Ahora se va a marcar la región del jardín para plantar flores. Los padres de Malik quieren que una zona tenga un rosal grande y la otra tenga petunias y otras flores pequeñas. Ellos quieren que la zona de las petunias sea el doble de larga que la zona del rosal. Las varas en los extremos de esta parte del jardín estarán en y . El papá de Malik dice: “Necesitaremos una vara que marque el final del rosal”.

7.

Ayuda a Malik y a Sapana a averiguar dónde ubicar la vara si el rosal debe estar más cerca de la vara que está en que de la vara que está en .

Line segment from (1,5) to (4,11)x222444666y222444666888101010121212000(1, 5)(1, 5)(1, 5)(4, 11)(4, 11)(4, 11)

La vara se debe ubicar en:

Solo falta ubicar un grupo más de varas. Esta vez, las varas de los extremos están en y . Se necesita ubicar otra vara que divida este segmento en dos segmentos más pequeños de manera que la razón de sus longitudes sea .

8.

¿Dónde se debe ubicar la vara si esta debe estar más cerca de la vara que está en que de la vara que está en ?

Line segment from (-8,5) to (2,-10)x–10–10–10–5–5–5555y–10–10–10–5–5–5555000(2, -10)(2, -10)(2, -10)(-8, 5)(-8, 5)(-8, 5)

La vara se debe ubicar en:

¿Listo para más?

Escribe una regla, en símbolos, para ubicar el punto que divide un segmento de recta en dos partes cuya razón de longitudes sea , de modo que el punto esté más cerca del extremo izquierdo.

Aprendizajes

Para encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son y , puedo usar la fórmula del punto medio:

Para encontrar el punto que divide el segmento cuyos extremos son y en dos partes que tengan proporción , puedo usar una estrategia o usar la regla:

Estrategia:

Regla:

Estas son mi ilustración y mis notas para explicar por qué esta regla o estrategia funciona:

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección analizamos estrategias para dividir un segmento de recta en dos partes que corresponden a una razón dada. Una aplicación frecuente de este concepto es encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento dadas las coordenadas de sus extremos.

Repaso

Encuentra la media (el promedio) de cada conjunto de números.

1.

, ,

2.

, , ,

Encuentra el valor que está exactamente en el medio de los dos valores dados.

3.

,

4.

,

5.

En los últimos dos problemas, explica cuál fue tu proceso para encontrar el valor del medio.

6.

Soluciona la ecuación de proporcionalidad para hallar el valor desconocido.