Lección 8 El determinante de una matriz Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Analizar una nueva estrategia para encontrar la inversa multiplicativa de una matriz.

¿Se puede dividir entre una matriz? ¿Cómo está definida la división?

Cuando multiplicamos matrices, ¿qué significa decir que “dividir entre $0$ no está definido” o que “ $0$ no tiene un inverso de la multiplicación”?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En una actividad anterior aprendimos un proceso para encontrar la matriz inversa multiplicativa de una matriz. Usa ese proceso para encontrar la matriz inversa multiplicativa de estas dos matrices.

1.

$[\begin{matrix} 5 & 1 \\ 6 & 2 \end{matrix}]$

2.

$[\begin{matrix} 6 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}]$

3.

¿Pudiste encontrar la matriz inversa multiplicativa de ambas matrices?

Cada matriz cuadrada está asociada a un número llamado el determinante de la matriz. Si el determinante no es igual a $0$ , entonces la matriz tiene una matriz inversa multiplicativa.

El determinante de una matriz de $2 \times 2$ se define usando la siguiente ecuación. (Nota: Usamos líneas verticales en vez de paréntesis cuadrados para referirnos al determinante de la matriz).

El determinante de una matriz $2 \times 2$ es: $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ .

4.

Usando esta regla, encuentra el determinante de las matrices de los problemas 1 y 2.

Dada una matriz de $2 \times 2$ , $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ , el valor absoluto del determinante se puede interpretar como el área de un paralelogramo que se construye así:

Se dibuja un lado con extremos en $(0, 0)$ y $(a, c)$ .
Se dibuja un segundo lado con extremos en $(0, 0)$ y $(b, d)$ .
Se ubica el cuarto vértice que completa el paralelogramo.

(Observa que las componentes de las columnas de la matriz se usaron para definir los vectores que representan dos de los lados del paralelogramo).

5.

Usa el diagrama para mostrar que el área del paralelogramo es igual a $a d - b c$ .

6.

Dibuja los paralelogramos cuyas áreas están representadas por los determinantes de las matrices de los problemas 1 y 2. ¿Qué significa que el determinante sea $0$ en estos diagramas? ¿Cómo se ve esto?

7.

Escribe una matriz que tenga un determinante negativo. Dibuja el paralelogramo asociado al determinante de tu matriz en papel cuadriculado y encuentra el área del paralelogramo. ¿Qué observas?

Haz una pausa y reflexiona

El determinante se puede usar como herramienta en un método alternativo para encontrar la inversa multiplicativa de matrices de $2 \times 2$ .

8.

Usa el mismo proceso de antes para encontrar la matriz inversa de una matriz genérica de $2 \times 2$ que tiene componentes $a$ , $b$ , $c$ y $d$ . Por ahora vamos a llamar $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ y $M_{4}$ a las componentes de la matriz inversa, como se muestra en la siguiente ecuación de matrices. Encuentra expresiones de $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ y $M_{4}$ en términos de las componentes de la primera matriz, $a$ , $b$ , $c$ y $d$ .

$[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} M_{1} & M_{2} \\ M_{3} & M_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

a.

$M_{1} =$

b.

$M_{2} =$

c.

$M_{3} =$

d.

$M_{4} =$

e.

Usando lo que hiciste antes como ayuda, explica esta estrategia para encontrar la inversa de una matriz de $2 \times 2$ . (Nota: El superíndice $- 1$ se usa para referirse a la matriz inversa multiplicativa).

${[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]}^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$ , donde $a d - b c$ es el determinante de la matriz $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ .

¿Listo para más?

Cuando trabajamos con números reales, sabemos que dividir entre un número es equivalente a multiplicar por el recíproco o el inverso multiplicativo de ese número. Por ejemplo, $4 \div 2 = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ . Por supuesto, no podemos dividir entre $0$ porque $0$ no tiene un inverso multiplicativo.

¿Cómo dividimos usando matrices? Por lo general, la división de matrices no se considera una operación. Es preferible interpretar la división entre una matriz como la multiplicación por su inversa multiplicativa. ¿Cómo podríamos encontrar la matriz que es el “cociente” de dos matrices, como en el siguiente ejemplo?

$[\begin{matrix} 6 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] \div [\begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{matrix}]$

Aprendizajes

La inversa multiplicativa de una matriz de $2 \times 2$ , $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ , se puede encontrar usando la fórmula: .

Si el determinante es igual a cero ( $a d - b c = 0$ ), .

Notación, convenciones y vocabulario

El determinante de una matriz se puede asociar con

Este número es importante porque

Una matriz cuadrada que tiene determinante distinto de $0$

Una matriz cuadrada que tiene determinante igual a $0$

Dada una matriz de $2 \times 2$ , $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ , la notación para encontrar su determinante es:

Dada una matriz de $2 \times 2$ , $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ , el determinante se puede calcular así:

Vocabulario

determinante de una matriz
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos un segundo método para encontrar la matriz inversa multiplicativa de una matriz de $2 \times 2$ . También encontramos maneras de decidir si una matriz de $2 \times 2$ tiene una matriz inversa multiplicativa o no.

Repaso

1.

Describe las operaciones de filas que se le hicieron a la primera matriz para obtener la segunda matriz.

$[\begin{array}{rrr} 5 & 1 & 9 \\ 10 & - 7 & - 18 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 5 & 1 & 9 \\ 0 & 9 & 36 \end{array}]$

2.

Estas matrices vienen de un sistema de ecuaciones lineales. Continúa usando operaciones de filas para encontrar las soluciones del sistema.

$[\begin{array}{rrr} 5 & 1 & 9 \\ 10 & - 7 & - 18 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 5 & 1 & 9 \\ 0 & 9 & 36 \end{array}]$

3.

Decide si el sistema de ecuaciones está formado por rectas que son paralelas, perpendiculares o ninguna.

${\begin{cases} 2 x + 4 y = 8 \\ 3 x + 6 y = 3 \end{cases}$

A.

paralelas

B.

perpendiculares

C.

ninguna