Lección 9 Retomemos: Solucionemos sistemas usando matrices Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Usar matrices inversas multiplicativas para solucionar sistemas de ecuaciones.

¿Se puede dividir entre una matriz? ¿Cómo se define la división en los números reales y cuál sería la operación equivalente para las matrices?

¿Cómo puedo usar las propiedades de las operaciones de matrices para solucionar ecuaciones de matrices? ¿Qué representa la solución de una ecuación de matrices?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Al solucionar ecuaciones lineales, se usan propiedades de las operaciones como la propiedad asociativa, la propiedad del inverso aditivo o multiplicativo, y la propiedad de la identidad aditiva o multiplicativa.

1.

Despeja $x$ en la siguiente ecuación y escribe las propiedades de las operaciones que usaste para solucionar la ecuación.

$\frac{2}{3} x = 8$

En la lista de las propiedades que usaste para solucionar esta ecuación probablemente incluiste la propiedad del inverso de la multiplicación y la propiedad de la identidad de la multiplicación. Si no escribiste estas propiedades, revisa tu solución e identifica si en realidad las usaste y en qué parte.

Un sistema de ecuaciones lineales se puede representar con una ecuación de matrices. Esta se puede solucionar con las mismas propiedades que se usaron para solucionar la ecuación anterior. Primero, aprendamos cómo representar un sistema de ecuaciones lineales usando una ecuación de matrices.

2.

Escribe el sistema de ecuaciones lineales que se representa con la siguiente ecuación de matrices. (Piensa en el procedimiento para multiplicar matrices que aprendiste en lecciones anteriores).

$[\begin{matrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 \\ 4 \end{matrix}]$

3.

Usa las relaciones que observaste en el problema 2 para escribir la ecuación de matrices que representa el siguiente sistema de ecuaciones.

${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 14 \\ 3 x + 4 y = 20 \end{matrix}$

4.

Los números racionales $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{2}$ son inversos multiplicativos. ¿Cuál es la matriz inversa multiplicativa de la matriz $[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$ ?

Nota: La matriz inversa multiplicativa generalmente se denota ${[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix}]}^{- 1}$ .

5.

La siguiente tabla tiene, en la parte izquierda, los pasos que posiblemente usaste para solucionar $\frac{2}{3} x = 8$ . Usando los mismos pasos que aparecen, soluciona la ecuación de matrices que escribiste en el problema 4. Escribe los pasos en la parte de la derecha de la tabla.

Ecuación original
$\frac{2}{3} x = 8$
Multiplicar por la matriz inversa multiplicativa a ambos lados de la ecuación
$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x = \frac{3}{2} \cdot 8$
Reagrupar la multiplicación usando la propiedad asociativa
$(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}) x = \frac{3}{2} \cdot 8$
Al lado izquierdo de la ecuación, el producto de dos matrices que son inversas multiplicativas es la matriz identidad multiplicativa
$1 \cdot x = \frac{3}{2} \cdot 8$
Hacer la multiplicación que está al lado derecho de la ecuación
$1 \cdot x = 12$
Aplicar la propiedad de la matriz identidad multiplicativa al lado izquierdo de la ecuación
$x = 12$

6.

¿Qué nos dice la última fila de la tabla del problema 5 acerca del sistema de ecuaciones del problema 3?

Haz una pausa y reflexiona

7.

Usa el proceso que acabas de analizar para solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

${\begin{matrix} 3 x + 5 y = - 1 \\ 2 x + 4 y = 4 \end{matrix}$

¿Listo para más?

La siguiente estrategia se puede usar para encontrar la inversa multiplicativa de cualquier matriz cuadrada. La estrategia se describe para una matriz de $3 \times 3$ , pero se puede adaptar a una matriz cuadrada de cualquier tamaño.

Escribir una matriz de $3 \times 6$ cuyas primeras tres columnas son las columnas de la matriz de la que se quiere encontrar su inversa multiplicativa y las últimas tres son las columnas de la matriz identidad multiplicativa.
Reducir por filas esta matriz hasta que la matriz formada por las primeras tres columnas sea la matriz identidad multiplicativa. La matriz formada por las otras tres columnas es igual a la matriz inversa multiplicativa.

Usa esta estrategia para encontrar la matriz inversa multiplicativa de $[\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Aprendizajes

El sistema de ecuaciones $\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = n_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = n_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = n_{3} \end{matrix}$ se puede representar usando matrices así:

Para despejar $[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]$ en la ecuación de matrices, podemos

La solución del sistema es:

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos un método nuevo para solucionar sistemas de ecuaciones. En este método el sistema se representa con una ecuación de matrices y se usan matrices inversas multiplicativas para solucionar la ecuación. La solución de la ecuación de matrices nos da las soluciones del sistema.

Repaso

1.

Traslada el triángulo $△ E F G$ usando la regla $f (x, y) = (x + 5, y - 7)$ .

2.

Refleja el triángulo $△ E F G$ con respecto a la recta $y = x + 5$ .

3.

Identifica la propiedad que se usó en esta afirmación matemática.

$3 (x + 4 y) = 3 x + 12 y$

4.

Identifica la propiedad que se usó en esta afirmación matemática.

$(- 7 y + 2 x) - 8 x = - 7 y + (2 x - 8 x)$