Lección 3 Pendientes resbaladizas Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Demostrar relaciones entre pendientes de rectas paralelas y de rectas perpendiculares.

¿Cómo sabemos que los valores de las pendientes de cualquier par de rectas perpendiculares son recíprocos negativos? ¿Esto siempre es verdadero o solo a veces?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En una lección anterior, usamos triángulos rectángulos para concluir que los valores de las pendientes de rectas perpendiculares son recíprocos negativos (recíprocos opuestos). Ahora tu objetivo es formalizar esto con una demostración. Primero, pensemos en dos rectas perpendiculares que se intersecan en el origen, como estas:

1.

Dibuja un triángulo rectángulo de hipotenusa $\overset{―}{O A}$ . Necesitarás un segmento vertical, $\overset{―}{A B}$ , del punto $A$ al punto $B$ sobre el eje $x$ , y un segmento horizontal del punto $B$ al punto $O$ . Estos triángulos se llaman triángulos de pendiente. De acuerdo al triángulo de pendiente que dibujaste, ¿cuál es la pendiente de la recta $\overset{\leftrightarrow}{O A}$ ?
Ahora rota el triángulo de pendiente $90 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen del punto $A$ ?
Llama $A^{'}$ a la imagen anterior. Usa este punto para dibujar un triángulo de pendiente de hipotenusa $\overset{―}{O A^{'}}$ . De acuerdo al triángulo de pendiente, ¿cuál es la pendiente de la recta $\overset{\leftrightarrow}{O A^{'}}$ ?

2.

¿Qué relación hay entre estas dos pendientes? ¿Cómo lo sabes?

3.

¿La relación cambia si las dos rectas se trasladan de manera que ahora se intersequen en $(- 5, 7)$ ?

¿Cómo lo sabes?

Para demostrar un teorema necesitamos justificar que la propiedad que queremos demostrar se cumple para cualquier par de rectas perpendiculares, no solo para algunos ejemplos específicos. En general, esto se logra con dibujos muy parecidos a los ejemplos que se han comprobado, pero usando variables en vez de números. Las variables se usan para mostrar que la propiedad se sigue cumpliendo, sin importar cuáles números usemos. Probemos esa estrategia con el teorema sobre rectas perpendiculares cuyos valores de la pendiente son recíprocos negativos.

4.

Las rectas $ℓ$ y $m$ se construyen de manera que sean perpendiculares.
Primero, marca un punto $P$ en la recta $ℓ$ .
Marca las coordenadas de $P$ .
Dibuja el triángulo de pendiente a partir del punto $P$ .
Marca las longitudes de los lados del triángulo de pendiente. Usa variables como $a$ y $b$ para el cambio horizontal y el cambio vertical.

5.

¿Cuál es la pendiente de la recta $ℓ$ ?

Rota el punto $P$ $90 °$ alrededor del origen, llama $P^{'}$ a la imagen y márcalo en la recta $m$ . ¿Cuáles son las coordenadas del punto $P^{'}$ ?

6.

Dibuja el triángulo de pendiente a partir del punto $P^{'}$ . ¿Cuáles son las longitudes de los lados del triángulo de pendiente? ¿Cómo lo sabes?

7.

¿Cuál es la pendiente de la recta $m$ ?

8.

¿Cuál es la relación entre las pendientes de las rectas $ℓ$ y $m$ ? ¿Cómo lo sabes?

9.

¿La relación entre las pendientes cambia si las rectas $ℓ$ y $m$ (y la intersección) se trasladan en el plano? ¿Cómo lo sabes?

10.

¿La relación entre las pendientes cambia si las rectas $ℓ$ y $m$ se rotan el mismo ángulo?

11.

¿Cómo estos pasos demuestran que los valores de las pendientes de rectas perpendiculares son recíprocos negativos, para cualquier par de rectas perpendiculares?

En los problemas del 6 al 9 demostraste que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares que se intersecan en el origen es $- 1$ . También notaste que si la intersección de las dos rectas perpendiculares no es $(0, 0)$ , puedes trasladarlas para hacer que la intersección sea $(0, 0)$ . Por definición, todos los ángulos y las distancias se mantienen bajo esta traslación. Teniendo en cuenta esto, la propiedad de que el producto de las pendientes es $- 1$ , como se describió antes, se mantendrá.

12.

Escribe una demostración de este teorema: Si dos rectas son perpendiculares, los valores de sus pendientes son recíprocos negativos.

Dado que: $ℓ ⊥ m$

Llama $q_{1}$ a la pendiente de $ℓ$ y $q_{2}$ a la pendiente de $m$ .

Demuestra que: $q_{1} = - \frac{1}{q_{2}}$

Ahora piensa en rectas paralelas como las que se muestran: $m ∥ n$ .

Los puntos $O$ , $P$ y $Q$ están todos en la recta $n$ . El punto $B$ es la intersección con el eje $y$ de la recta $m$ .

13.

Dibuja el triángulo de pendiente que va desde el punto $P$ hasta el punto $Q$ . ¿Cuál es la pendiente de la recta $\overset{\leftrightarrow}{P Q}$ ?
Traslada la recta $n$ de manera que $O$ y $B$ coincidan. ¿Por qué los puntos $P^{'}$ y $Q^{'}$ estarán sobre la recta $m$ ?
Dibuja el triángulo de pendiente que va del punto $P^{'}$ al punto $Q^{'}$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $P^{'}$ y $Q^{'}$ ?
¿Cuál es la pendiente de la recta $\overset{\leftrightarrow}{P^{'} Q^{'}} ?$
Muestra cómo sabes que estas dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y explica por qué esto demuestra que todas las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

¿Listo para más?

Encuentra la ecuación de la mediatriz del segmento entre $(- 5, 6)$ y $(4, - 3)$ .

Aprendizajes

Dado que: $m ∥ n$ , el punto $O$ tiene coordenadas $(0, 0)$ , el punto $P$ está sobre $n$ y tiene coordenadas $(a, b)$ , el punto $Q$ (distinto de $P$ ) está sobre $n$ y tiene coordenadas $(c, d)$ , $q_{1}$ es la pendiente de $n$ y $q_{2}$ es la pendiente de $m$ .

Demuestra que: $q_{1} = q_{2}$ .

Resumen de la lección

En esta lección usamos transformaciones para demostrar que las pendientes de rectas que son perpendiculares son valores recíprocos negativos y que las pendientes de rectas que son paralelas son iguales. Para demostrar los teoremas, tuvimos que escribir las rectas y los puntos de manera general, para cubrir todos los casos. Cuando usamos un punto específico, como el origen, tuvimos que argumentar que la propiedad valía también para cualquier par de rectas paralelas o perpendiculares.

Repaso

1.

Despeja $d$ .

$d^{2} - {(y_{2} - y_{1})}^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2}$

2.

Una recta pasa por los puntos $P (- 3, - 14)$ y $Q (17, - 19)$ . Usa la información dada para escribir la ecuación de la recta en forma estándar.

Forma estándar: $(A x + B y = C)$