Lección 7 Transformaciones con matrices Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Multiplica las dos matrices para encontrar la matriz producto:

$[\begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Focos de aprendizaje

Usar matrices para transformar figuras geométricas.

¿Cómo se pueden usar las operaciones de matrices para reflejar y rotar figuras en una cuadrícula de coordenadas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Hay varias notaciones para denotar vectores: $v$ ; una variable escrita con una flecha encima, $\vec{v}$ ; o escribir la componente horizontal y la componente vertical del vector, $⟨ v_{x}, v_{y} ⟩$ . En esta actividad vamos a representar vectores escribiendo su componente horizontal y su componente vertical en una matriz de solo una columna, $[\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \end{matrix}]$ .

1.

Representa el vector $\vec{v}$ del diagrama como una matriz que tiene una columna.

Podemos usar la multiplicación de matrices para transformar vectores e imágenes que están en un plano.

Supón que queremos reflejar $\vec{w}$ con respecto al eje $y$ . Podemos representar $\vec{w}$ con la matriz $[\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}]$ y el vector reflejado con la matriz $[\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}]$ .

2.

Usando solo los números $0$ , $1$ y $- 1$ , escribe la matriz de $2 \times 2$ que al multiplicar por la matriz que representa el vector original, nos da el vector reflejado. Es decir, encuentra $a$ , $b$ , $c$ y $d$ tales que $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}]$ .

3.

Usando solo los números $0$ , $1$ y $- 1$ , escribe la matriz de $2 \times 2$ que sirve para reflejar $\vec{w}$ con respecto al eje $x$ .

4.

Usando solo los números $0$ , $1$ y $- 1$ , escribe la matriz de $2 \times 2$ que sirve para rotar $\vec{w}$ $90 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj.

5.

Usando solo los números $0$ , $1$ y $- 1$ , escribe la matriz de $2 \times 2$ que sirve para rotar $\vec{w}$ $180 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj.

6.

Usando solo los números $0$ , $1$ y $- 1$ , escribe la matriz de $2 \times 2$ que sirve para rotar $\vec{w}$ $270 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj.

7.

¿Podemos obtener una rotación de $270 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj sin usar la matriz del problema 6? De ser así, explica cómo.

Haz una pausa y reflexiona

Para representar polígonos en el plano, podemos escribir las coordenadas de sus vértices como las columnas de una matriz. Por ejemplo, el siguiente triángulo se puede representar con la matriz $[\begin{matrix} 2 & 5 & 6 \\ 3 & 7 & 4 \end{matrix}]$ .

8.

Multiplica la matriz que representa los vértices del triángulo $△ A B C$ por la matriz que encontraste en el problema 2. Supón que la matriz producto representa las coordenadas de los vértices de otro triángulo en el plano. Marca estos puntos y dibuja el triángulo. ¿Cómo se relaciona este triángulo con el triángulo original?

9.

Usando la multiplicación de matrices, ¿cómo puedes encontrar las coordenadas del triángulo que se obtiene al rotar el triángulo $△ A B C$ $90 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj? Encuentra las coordenadas del triángulo después de rotarlo.

10.

Usando la multiplicación de matrices, ¿cómo puedes encontrar las coordenadas del triángulo que se obtiene al reflejar el triángulo $△ A B C$ con respecto al eje $x$ ? Encuentra las coordenadas del triángulo después de reflejarlo.

¿Listo para más?

En esta actividad usamos matrices para reflejar o rotar una figura geométrica. Inventa una estrategia para trasladar una figura geométrica usando operaciones de matrices. Para mostrar tu estrategia, dibuja un cuadrilátero en el primer cuadrante de una cuadrícula de coordenadas y marca sus vértices. Predice cuáles serán las coordenadas de los vértices si el cuadrilátero se traslada usando un vector específico. Después, muestra cómo podrías usar matrices para averiguar las coordenadas de la figura después de trasladarla.

Aprendizajes

Puedo usar matrices para reflejar o rotar un vector. Por ejemplo:

Para reflejar con respecto al eje $x$ , uso

Para reflejar con respecto al eje $y$ , uso

Para rotar $90 °$ , uso

Para hacer otras transformaciones, puedo

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos cómo usar la multiplicación de matrices para rotar los vértices de figuras geométricas alrededor del origen en una cuadrícula de coordenadas y para reflejar figuras con respecto a cualquiera de los ejes.

Repaso

1.

Encuentra la solución del sistema de ecuaciones.

${\begin{matrix} - 2 x + 5 y = 10 \\ 8 x + 2 y = - 18 \end{matrix}$

En los problemas 2 y 3, usa $f (x) = 3 x - 4$ .

2.

Encuentra $g (x)$ si $g (x) = f (x) + 11$ .

3.

Describe la relación entre $f (x)$ y $g (x)$ .