Lección 6 Todos para uno, uno para todos Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Estas son todas las restricciones que Carlos y Clarita identificaron para su negocio de cuidado de mascotas.

Espacio: Cada corral para gatos necesita $6 {ft}^{2}$ de espacio, mientras que cada corral para perros necesita $24 {ft}^{2}$ . Carlos y Clarita tienen hasta $360 {ft}^{2}$ disponibles en el cuarto de almacenamiento para los corrales y para poder moverse alrededor.
Costos iniciales: Carlos y Clarita planean invertir gran parte de los $$ 1, 280$ que ganaron en su último negocio en la compra de corrales para gatos y corrales para perros. Cada corral para gatos cuesta $$ 32$ y cada corral para perros cuesta $$ 80$ .
Tiempo de alimentación: Carlos y Clarita estiman que necesitarán $6$ minutos dos veces al día —en la mañana y en la noche— para alimentar y limpiar el arenero de cada gato, que en total son $12$ minutos al día por cada gato. Para alimentar y pasear a cada perro, se necesitarán $10$ minutos dos veces al día, que en total son $20$ minutos al día por cada perro. Carlos puede dedicar hasta $8$ horas cada día para la alimentación de las mañanas y las noches, pero necesita tiempo libre durante el día para practicar y jugar béisbol.
Tiempo de cariño: Los mellizos planean pasar $16$ minutos cada día cepillando y acariciando cada gato y $20$ minutos cada día bañando o jugando con cada perro. Clarita necesita tiempo libre para el equipo de natación en la mañana y para su clase de arte en la noche, pero puede dedicar hasta $8$ horas durante el día para jugar con las mascotas y mimarlas.

Escribe el sistema de desigualdades que modela estas restricciones.

Focos de aprendizaje

Encontrar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales.

¿Cómo represento las soluciones que satisfacen todas las restricciones de un contexto?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Carlos y Clarita encontraron una forma de representar combinaciones de gatos y perros que satisfacen cada una de las restricciones individuales de Cuidadores de Mascotas. Sin embargo, se dan cuenta de que necesitan encontrar combinaciones que satisfagan todas las restricciones simultáneamente. ¿Por qué?

1.

Empieza por escribir el sistema de desigualdades con el que representaste las restricciones de costos iniciales y de espacio de Cuidadores de Mascotas.

2.

Encuentra por los menos 5 combinaciones de gatos y perros que satisfagan las restricciones que se representan en este sistema de desigualdades. ¿Cómo sabes que estas combinaciones funcionan?

3.

Encuentra por los menos 5 combinaciones de gatos y perros que satisfagan una de las restricciones, pero no la otra. Para cada combinación, explica cómo sabes que funciona para una de las desigualdades pero no para la otra.

4.

Sombrea una región de la cuadrícula de coordenadas que represente el conjunto solución del sistema de desigualdades. Explica cómo supiste cuál región sombrear.

Haz una pausa y reflexiona

5.

Reescribe tus sistemas de desigualdades para incluir las restricciones adicionales del tiempo de alimentación y del tiempo de cariño.

6.

Encuentra por lo menos cinco combinaciones de gatos y perros que satisfagan todas las restricciones que se representan en este nuevo sistema de desigualdades. ¿Cómo sabes que estas combinaciones funcionan?

7.

Encuentra por lo menos cinco combinaciones de gatos y perros que satisfagan algunas de las restricciones, pero no todas. Para cada combinación, explica cómo sabes que funciona para algunas desigualdades pero no para otras.

8.

Sombrea una región de la cuadrícula de coordenadas que represente el conjunto solución del sistema de desigualdades formado por las cuatro restricciones de Cuidadores de Mascotas. Explica cómo supiste cuál región sombrear.

9.

Sombrea una región del cuadrante I de la cuadrícula de coordenadas que represente todas las combinaciones posibles de gatos y perros que satisfacen las cuatro restricciones de Cuidadores de Mascotas. Este conjunto de puntos se llama la región factible, porque es posible para Carlos y Clarita alojar cualquiera de estas combinaciones de gatos y perros (representadas por puntos de esta región), sin sobrepasar ninguna de las restricciones de tiempo, dinero o espacio.

10.

¿En qué se diferencia la región factible sombreada en el problema 9 del conjunto solución del sistema de desigualdades sombreado en el problema 8?

¿Listo para más?

Grafica el conjunto solución del siguiente sistema de desigualdades. Para definir claramente el conjunto solución, te será útil encontrar los vértices del polígono que representa la región factible de las soluciones del sistema.

${\begin{matrix} 2 x + y \geq 4 \\ \frac{1}{2} x + y \leq 2 \\ x - y \leq 4 \end{matrix}$

Aprendizajes

Para encontrar la solución de un sistema de desigualdades:

Para definir la región factible de un sistema de restricciones que modela un contexto:

Notación, convenciones y vocabulario

Dado un sistema de desigualdades ${\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y \leq C_{1} \\ A_{2} x + B_{2} y \geq C_{2} \\ A_{3} x + B_{3} y \leq C_{3} \end{matrix}$

El conjunto solución del sistema de desigualdades es:

Si el sistema modela las restricciones de un contexto, entonces la región factible es:

Vocabulario

conjunto solución del sistema de desigualdades
desigualdad compuesta en dos variables
región factible
solución de una ecuación (satisfacer una ecuación)
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a encontrar la solución de un sistema de desigualdades hallando los puntos del plano de coordenadas que satisfacen simultáneamente todas las desigualdades. También usamos la solución del sistema de desigualdades que representa las restricciones de Cuidadores de Mascotas para encontrar la región factible que muestra las opciones razonables que Carlos y Clarita pueden considerar al empezar con su negocio.

Repaso

Determina el valor de la raíz cuadrada.

1.

$\sqrt{64}$

2.

$\sqrt{225}$

Soluciona la ecuación a simple vista o por ensayo y error.

3.

$x^{2} = 36$

4.

$4^{x} = 1,024$

5.

En la cuadrícula de coordenadas se muestra la recta frontera de la desigualdad. Sombrea el semiplano que contiene todas las soluciones de la desigualdad.

$4 x - 9 y < 36$