Lección 4 El triángulo de Pascal Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Multiplicar polinomios.

Elevar binomios a distintas potencias.

¿En qué se parece multiplicar polinomios a multiplicar números enteros?

¿Cómo puedo usar las estrategias de multiplicación de polinomios que ya conozco para multiplicar polinomios de un grado mayor?

¿Cuáles son las estrategias más eficientes y precisas para multiplicar polinomios?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Se necesita un poco de habilidad en álgebra para multiplicar polinomios. Sin embargo, como los polinomios tienen la misma estructura de los números, su multiplicación funciona de manera similar. Cuando aprendiste a multiplicar números, puede que hayas aprendido a usar un modelo de área.

Para multiplicar $12 \times 15$ , el modelo de área y el procedimiento respectivo probablemente se veían así:

$\begin{aligned} 12 \\ \underset{―}{\times 15} \\ 10 \\ 50 \\ 20 \\ \underset{―}{+ 100} \\ 180 \end{aligned}$

Quizás usaste esta misma idea con las expresiones cuadráticas. Los modelos de área nos ayudan a pensar en cómo multiplicar, factorizar y completar el cuadrado para encontrar expresiones equivalentes.

Modelamos $(x + 2) (x + 5) = x^{2} + 7 x + 10$ como el área de un rectángulo que tiene lados de longitud $x + 2$ y $x + 5$ . En el diagrama se muestran las distintas partes del rectángulo:

Algunas personas prefieren resumir un poco el modelo de área para que las secciones de área correspondan solamente a las longitudes de los lados. En este caso, el diagrama se vería así:

	$x$	$+ 5$
$x$	$x^{2}$	$5 x$
$+ 2$	$2 x$	$10$

$= x^{2} + 7 x + 10$

1.

¿Cuál es la propiedad en la que se basan todos estos modelos?

2.

Ahora que recordaste, puedes usar la estrategia que prefieras para encontrar una expresión equivalente en cada caso:

a.

$(x + 3) (x + 4)$

b.

$(x + 7) (x - 2)$

Quizás ahora recuerdes algunas de las formas de las expresiones cuadráticas: la forma factorizada y la forma estándar. Estas formas existen para todos los polinomios, aunque a medida que las potencias aumentan, el álgebra puede volverse un poco más complicada. En la forma estándar, los términos del polinomio están escritos en orden. Primero va el término con la mayor potencia y luego van los términos con potencias menores, en orden descendente. Así, cada término tendrá una potencia menor que el término anterior. Estos son algunos ejemplos de expresiones polinomiales, de acuerdo a su grado:

Cuadráticas: $x^{2} - 3 x + 8$ o $x^{2} - 9$

Cúbicas: $2 x^{3} + x^{2} - 7 x - 10$ o $x^{3} - 2 x^{2} + 15$

Cuárticas: $x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 4$

Con suerte, también recordarás que tienes que asegurarte de multiplicar cada término del primer factor por cada término del segundo factor, y luego sumar los términos semejantes para obtener la forma estándar. Para organizar los términos, puedes usar modelos de área, modelos de cajas o mnemotecnia. Un ejemplo de mnemotecnia es el acrónimo FOIL, que se refiere a los primeros (First), externos (Outer), internos (Inner) y últimos (Last) términos. También puedes simplemente revisar cada vez para asegurarte de que tienes todas las combinaciones. Puede volverse más retador con polinomios de un grado mayor, pero el principio es igual porque se basa en la propiedad distributiva.

3.

La estrategia favorita de Tia para multiplicar polinomios es hacer cajas en las que van los dos factores, como en un diagrama de área. Ella lo organiza así: $(x + 2) (x^{2} - 3 x + 5)$ .

Intenta usar el método de cajas de Tia para multiplicar estos dos factores y luego sumar los términos semejantes para obtener un polinomio en la forma estándar.

	$x^{2}$	$- 3 x$	$+ 5$
$x$
$+ 2$

Forma estándar:

4.

Para comprobar tu respuesta, intenta graficar el polinomio original factorizado, $(x + 2) (x^{2} - 3 x + 5)$ , y luego grafica el polinomio que obtuviste al multiplicar. Si las gráficas son iguales, ¡tu respuesta es correcta porque las dos expresiones son equivalentes! Si no son iguales, revisa lo que hiciste para hacer las correcciones.

5.

La estrategia favorita de Tehani es conectar en orden los términos que tiene que multiplicar, así:

Intenta usar la estrategia de Tehani para multiplicar y luego haz una gráfica para comprobar lo que hiciste. Haz todas las correcciones necesarias y averigua por qué debes hacerlas, ¡así no cometes el mismo error dos veces!

6.

Usa la estrategia que prefieras para multiplicar cada una de las siguientes expresiones. Dibuja una gráfica para comprobar lo que hiciste. Haz las correcciones necesarias.

a.

$(x + 5) (x^{2} - x - 3)$

b.

$(x - 2) (2 x^{2} + 6 x + 1)$

c.

$(x + 2) (x - 2) (x + 3)$

Cuando graficamos, suele ser útil tener un cuadrado perfecto o un cubo perfecto. A veces, también es útil que estas funciones estén escritas en forma estándar. Intentemos reescribir algunas expresiones relacionadas para tratar de ver algunos patrones que puedan ayudarnos.

7.

Multiplica las siguientes expresiones usando la estrategia que prefieras. Escribe tu respuesta en forma estándar.

a.

$f (x) = {(x + 1)}^{2}$

b.

$f (x) = {(x + 1)}^{3}$

c.

Dibuja una gráfica para comprobar lo que hiciste. Haz las correcciones necesarias.

8.

${(x + 1)}^{0}$	$1$	$1$
${(x + 1)}^{1}$	$x + 1$	$1 1$
${(x + 1)}^{2}$		$1 2 1$
${(x + 1)}^{3}$		$1 3 3 1$
${(x + 1)}^{4}$

Algún joven matemático con iniciativa observó una relación entre los coeficientes de los términos del polinomio y el patrón numérico conocido como triángulo de Pascal. Escribe tus respuestas del problema 7 en la tabla. Compara tus respuestas con los números del triángulo de Pascal y describe la relación.

Ahorraríamos tiempo al multiplicar los polinomios que tienen una potencia mayor si pudiéramos usar el triángulo de Pascal para obtener los coeficientes. Primero, tendríamos que ser capaces de construir nuestro propio triángulo de Pascal y agregarle filas cuando sea necesario. Examina el triángulo de Pascal y trata de descifrar cómo obtener los términos de la siguiente fila del triángulo usando los términos de la fila anterior. Usa tu método para encontrar los números de la fila ${(x + 1)}^{4}$ del triángulo de Pascal.

Ahora puedes revisar tu triángulo de Pascal. Multiplica ${(x + 1)}^{4}$ y compara los coeficientes. Escribe tu respuesta en la tabla. (Pista: Si usas las respuestas del problema 7 harás más fácil tu trabajo).

Asegúrate de que coincidan los números del triángulo de Pascal y la respuesta que obtuviste al multiplicar ${(x + 1)}^{4}$ . Así puedes estar seguro de que ambas respuestas son correctas. Después, describe cómo obtener los términos de la siguiente fila del triángulo de Pascal usando los términos de la fila anterior.

Completa la siguiente fila del triángulo de Pascal y úsala para encontrar la forma estándar de ${(x + 1)}^{5}$ . Escribe tus respuestas en la fila 6 de la tabla.

9.

El triángulo de Pascal no sería muy útil si solo sirviera para desarrollar potencias de $x + 1$ . Por fortuna, hay una manera de usarlo en otras expresiones. La tabla de abajo muestra el triángulo de Pascal y el desarrollo de las potencias de $x + a$ .

${(x + a)}^{0}$	$1$	$1$
${(x + a)}^{1}$	$x + a$	$1 1$
${(x + a)}^{2}$	$x^{2} + 2 a x + a^{2}$	$1 2 1$
${(x + a)}^{3}$	$x^{3} + 3 a x^{2} + 3 a^{2} x + a^{3}$	$1 3 3 1$
${(x + a)}^{4}$	$x^{4} + 4 a x^{3} + 6 a^{2} x^{2} + 4 a^{3} x + a^{4}$	$1 4 6 4 1$

¿Qué le pasa a la $a$ en cada uno de los términos que hay en una fila?

10.

Usa el método del triángulo de Pascal para encontrar la forma estándar de ${(x + 2)}^{3}$ . Haz la multiplicación para comprobar tu respuesta.

11.

Usa cualquier método para escribir cada una de las siguientes expresiones en forma estándar:

a.

${(x + 3)}^{3}$

b.

${(x - 2)}^{3}$

c.

${(x + 5)}^{4}$

¿Listo para más?

Desarrolla ${(x + 3 y)}^{4}$ .

Aprendizajes

Consejos útiles para multiplicar polinomios:

Vocabulario

binomio
expansión binomial
factorizar
producto
trinomio
triángulo de Pascal
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección multiplicamos polinomios basándonos en lo que sabemos de los modelos de área que vimos en Matemáticas II. Aprendimos que podemos usar el método de cajas o podemos tomar cada término del primer factor y multiplicarlo por cada término del segundo factor. Ambos métodos se basan en la propiedad distributiva. También aprendimos un método eficiente para elevar binomios a distintas potencias. En este método usamos el triángulo de Pascal como ayuda para encontrar el coeficiente de cada término en la expresión desarrollada.

Repaso

1.

Dadas las funciones $f (x) = (x - 9) (x^{2} - 3 x + 18)$ y $g (x) = (x - 9)$ .

Encuentra $g (x) f (x)$ .

2.

Grafica la función $f (x) = | x - 4 | - 3$ .