Lección 6 Lo sentimos, estamos cerrados Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Justificar o cuestionar afirmaciones sobre el resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian la aritmética de los números enteros y la de los polinomios?

¿Qué significa la definición formal de un polinomio?

¿Qué significa que un conjunto de números sea cerrado con respecto a una operación?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Ya comparamos las operaciones aplicadas a los polinomios con las operaciones aplicadas a los números enteros. Ahora es momento de generalizar los resultados.

Antes de seguir avanzando, necesitamos algunas definiciones. En Matemáticas II aprendiste que el sistema numérico está compuesto por distintos conjuntos de números. El siguiente diagrama muestra la relación entre ellos:

También necesitaremos una definición técnica de función polinomial.

La forma de una función polinomial es:

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ Donde $a_{n}, a_{n - 1}, . . . a_{1}, a_{0}$ son números reales y $n$ es un entero no negativo. En otras palabras, un polinomio es la suma de uno o más monomios que tienen coeficientes reales y exponentes enteros no negativos. El grado de una función polinomial es el mayor valor de $n$ , donde $a_{n}$ es diferente de $0$ .

1.

Los siguientes ejemplos te ayudarán a ver las principales implicaciones de la definición de una función polinomial. En cada caso, indica en qué se diferencia el ejemplo de polinomio del ejemplo que no es un polinomio.

Estos son polinomios:	Estos no son polinomios:
a) $f (x) = x^{3}$	b) $g (x) = 3^{x}$
¿En qué se diferencian a y b?
c) $f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 12$	d) $g (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2}$
¿En qué se diferencian c y d?
e) $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 7$	f) $g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 10 x^{- 1} - 7$
¿En qué se diferencian e y f?
h) $f (x) = \frac{1}{2} x$	i) $g (x) = \frac{1}{2 x}$
¿En qué se diferencian h y i?
j) $f (x) = x^{2}$	k) $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$
¿En qué se diferencian j y k?

2.

Teniendo en cuenta la definición y los ejemplos dados, ¿cómo puedes saber si una función es una función polinomial?

Puede que antes hayas observado que cuando se suman dos números pares, el resultado siempre es un número par. Matemáticamente, decimos que el conjunto de números pares es cerrado con respecto a la suma. A los matemáticos les interesan resultados como este porque nos ayudan a entender cómo se comportan los números o las funciones de determinado tipo con respecto a las distintas operaciones.

3.

¡Inténtalo tú mismo! ¿El conjunto de números impares es cerrado con respecto a la multiplicación? En otras palabras, ¿si multiplicas dos números impares, obtendrás un número impar? Explica.

Si encuentras dos números impares que tienen un producto par, entonces puedes decir que los números impares no son cerrados con respecto a la multiplicación. Aun cuando haya varios ejemplos que justifiquen la afirmación, si puedes encontrar un contraejemplo que la contradiga, entonces la afirmación es falsa.

Haz esto con cada una de las siguientes afirmaciones:

Determina si la afirmación es verdadera o falsa.
Si determinas que la afirmación es verdadera, construye un argumento que explique por qué siempre es verdadera o plantea al menos dos ejemplos que justifiquen la afirmación. En tus ejemplos puedes incluir la representación que quieras.
Si determinas que la afirmación es falsa, encuentra un contraejemplo que demuestre que la afirmación es falsa.

4.

El conjunto de los números enteros no negativos es cerrado con respecto a la suma.

5.

La suma de una función polinomial cuadrática y una función polinomial lineal es una función polinomial cúbica.

6.

La suma de una función polinomial lineal y una función exponencial es una función polinomial.

7.

El conjunto de las funcionales polinomiales es cerrado con respecto a la suma.

8.

El conjunto de los números enteros no negativos es cerrado con respecto a la resta.

9.

El conjunto de los enteros es cerrado con respecto a la resta.

10.

Restarle una función polinomial cuadrática a una función polinomial cúbica da una función polinomial cúbica.

11.

Restarle una función polinomial lineal a una función polinomial lineal da una función polinomial.

12.

Restarle una función polinomial cúbica a una función polinomial cúbica da una función polinomial cúbica.

13.

El conjunto de las funciones polinomiales es cerrado con respecto a la resta.

14.

El producto de dos funciones polinomiales lineales es una función cuadrática.

15.

El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la multiplicación.

16.

El conjunto de las funciones polinomiales es cerrado con respecto a la multiplicación.

17.

El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la división.

18.

Una función polinomial cúbica dividida entre una función polinomial lineal es una función polinomial cuadrática.

19.

El conjunto de las funciones polinomiales es cerrado con respecto a la división.

¿Listo para más?

Escribe dos afirmaciones sobre las funciones polinomiales. Usa ejemplos para demostrar que son verdaderas.

Afirmación #1:

Afirmación #2:

Aprendizajes

Propiedades de clausura:

Notación, convenciones y vocabulario

La definición de un polinomio implica que:

Vocabulario

clausura
función polinomial
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección analizamos afirmaciones para determinar si distintos conjuntos de números y clases de funciones son cerrados con respecto a las operaciones de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Un ejemplo de esas afirmaciones es: “El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la división”. Un contraejemplo que muestra que esta afirmación es falsa es $2 \div 7 = \frac{2}{7}$ . Dado que $\frac{2}{7}$ es un número racional, este ejemplo muestra que el resultado de dividir dos números enteros no siempre es un número entero.

Repaso

1.

Grafica $f (x) = x^{2} + x - 6$ . Después, encuentra cuándo $f (x) = 0$ . Encuentra $f (0)$ y el valor máximo o mínimo de $f (x)$ .

2.

Resuelve $3 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ .