Lección 5 Divide y vencerás Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Dividir polinomios.

Escribir afirmaciones de multiplicación equivalentes después de dividir.

Saber cuándo un polinomio es un factor de otro polinomio.

¿En qué se parece dividir polinomios a dividir números enteros?

¿Cómo se relaciona la factorización con la división?

¿Cómo se puede usar el residuo de un problema de división de polinomios?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Ya vimos cómo se relacionan los números y los polinomios con respecto a la suma, la resta y la multiplicación. Ahora estamos listos para considerar la división.

¿División, dijiste? ¿Como una división larga? Así es. De eso hablamos. ¡No te predispongas! En realidad, es divertido.

Como siempre, examinemos primero cómo funciona la operación con números. Como la división es la operación inversa de la multiplicación, nos servirán los mismos modelos. El modelo de área que usamos en la multiplicación también se usa en la división. Cuando usábamos modelos de área para factorizar una expresión cuadrática, en realidad estábamos dividiendo.

Repasemos un poco.

1.

Este es el modelo de área de $x^{2} + 7 x + 10$ .

Úsalo para escribir $x^{2} + 7 x + 10$ en forma factorizada.

2.

También usamos patrones numéricos para factorizar sin necesidad de dibujar el modelo de área. Usa cualquier estrategia para factorizar los siguientes polinomios cuadráticos:

a.

$x^{2} + 7 x + 12$

b.

$x^{2} + 2 x - 15$

c.

$x^{2} - 11 x + 24$

d.

$x^{2} - 5 x - 36$

Haz una pausa y reflexiona:

Factorizar funciona muy bien para las expresiones cuadráticas y otros casos especiales de polinomios. Examinemos una versión más general de la división que se parece mucho a lo que hacemos con números. Digamos que queremos dividir $1,452$ entre $12$ . Si escribimos el problema de división análogo con polinomios, sería:

$(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2) \div (x + 2)$ .

Usemos el proceso de división de números para crear un proceso de división de polinomios. (No te asustes, ¡en muchos aspectos es más fácil con polinomios que con números!).

Paso 1: Primero escribe el problema como una división larga. Los términos del polinomio deben estar escritos en orden descendente. Si faltan potencias, puedes dejar un espacio para ellas.

$\begin{array}{r} 12 1452 x + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2 \end{array}$

Paso 2: Encuentra por cuál factor puedes multiplicar el divisor para obtener el primer término del dividendo.

$\begin{array}{r} 1 \\ 1 2 1 452 \end{array} \begin{array}{r} x^{2} \\ x + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2 \end{array}$

Paso 3: Multiplica. Luego, escribe el resultado debajo del dividendo.

$\begin{array}{r} 1 \\ 1 2 1 452 \\ \underset{―}{- 1200} \end{array} \begin{array}{r} x^{2} \\ x + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2 \\ - \underset{―}{(x^{3} + 2 x^{2})} \end{array}$

Paso 4: Resta. (Para no confundir los signos, puede ser útil cambiar el signo de cada término y sumar el polinomio).

$\begin{array}{r} 1 \\ 12 1452 \\ \underset{―}{- 1200} \\ 252 \end{array} \begin{array}{r} x^{2} \\ x + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2 \\ + (- \underset{―}{x^{3} - 2 x^{2})} \\ 2 x^{2} + 5 x + 2 \end{array}$

Paso 5: Repite el proceso con el número o expresión que queda en el dividendo.

$\begin{array}{r} 1 2 \\ 1 2 1452 \\ \underset{―}{- 1200} \\ 2 52 \\ - \underset{―}{240} \\ 12 \end{array} \begin{array}{r} x^{2} + 2 x \\ x + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2 \\ + (- \underset{―}{x^{3} - 2 x^{2})} \\ 2 x^{2} + 5 x + 2 \\ - \underset{―}{(2 x^{2} + 4 x)} \\ x + 2 \end{array}$

Paso 6: Continúa hasta que el número o la expresión que queda sea menor que el divisor.

$\begin{array}{r} 12 1 \\ 1 2 1452 \\ \underset{―}{- 1200} \\ 252 \\ - \underset{―}{240} \\ 1 2 \\ \underset{―}{- 12} \\ 0 \end{array} \begin{array}{r} x^{2} + 2 x + 1 \\ x + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2 \\ + (- \underset{―}{x^{3} - 2 x^{2})} \\ 2 x^{2} + 5 x + 2 \\ - \underset{―}{(2 x^{2} + 4 x)} \\ x + 2 \\ - \underset{―}{(x + 2)} \\ 0 \end{array}$

En este caso, al dividir $1452$ entre $12$ no queda residuo, por eso decimos que $12$ es un factor de $1452$ . De forma similar, como al dividir $(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2)$ entre $(x + 2)$ no queda residuo, decimos que $(x + 2)$ es un factor de $(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2)$ .

La división de polinomios no siempre coincide perfectamente con un problema análogo de números enteros, pero el proceso siempre es el mismo. ¡Intentémoslo!

3.

Usa la división larga para determinar si $(x - 1)$ es un factor de $(x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15)$ . No te preocupes, te damos los pasos de la división:

Escribe el problema como una división larga.
¿Por cuál factor puedes multiplicar $x$ para obtener $x^{3}$ ? Escribe tu respuesta encima de la barra.
Multiplica tu respuesta del paso b por $(x - 1)$ y escribe tu respuesta debajo del dividendo.
Resta. Ten cuidado al restar cada término. (Si te ayuda, cambia los signos y suma).
Repite estos pasos hasta que la expresión que quede sea menor que $(x - 1)$ .

4.

Inténtalo otra vez. Usa la división larga para determinar si $(2 x + 3)$ es un factor de $2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x + 9$ . Esta vez no te damos pistas. ¡Tú puedes!

Cuando se dividen números, hay muchas formas de ocuparse del residuo. A veces, simplemente escribimos el residuo así:

$\begin{array}{r} 8 r .1 \\ 3 25 \end{array}$

porque $3 (8) + 1 = 25$

Puede que recuerdes que también se puede escribir el residuo como una fracción, así:

$\begin{array}{r} 8 \frac{1}{3} \\ 3 25 \end{array}$

porque $3 (8 \frac{1}{3}) = 25$

Hacemos lo mismo con los polinomios.

Supongamos que encontraste que $(2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x + 9) \div (2 x + 3) = (x^{2} + 2 x - 2), r . 15$ . Puedes usar el resultado para escribir dos afirmaciones de multiplicación:

$(2 x + 3) (x^{2} + 2 x - 2) + 15 = (2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x + 9)$

$y$

$(2 x + 3) (x^{2} + 2 x - 2 + \frac{15}{2 x + 3}) = (2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x + 9)$

5.

Divide cada uno de los siguientes polinomios. Si queda un residuo, escribe las dos afirmaciones de multiplicación que corresponden a tus respuestas. Si el divisor es un factor, escribe solo una afirmación de multiplicación. Con ayuda de tecnología, haz una gráfica para comprobar y corregir lo que hiciste, si es necesario.

a.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 13 x + 12) \div (x + 3)$

Afirmaciones de multiplicación:

b.

$(x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 5) \div (x - 2)$

Afirmaciones de multiplicación:

c.

$(6 x^{3} - 11 x^{2} - 4 x + 5) \div (2 x - 1)$

Afirmaciones de multiplicación:

d.

$(x^{4} - 23 x^{3} + 49 x + 4) \div (x^{2} + x + 2)$

Afirmaciones de multiplicación:

6.

Hay otra cosa interesante que podemos observar en la división de polinomios. Vuelve a mirar el problema 5b: $(x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 5) \div (x - 2)$ . Sea $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 5$ (el dividendo). Encuentra $f (2)$ y compara ese valor con el residuo que encontraste cuando dividiste $f (x)$ entre $(x - 2)$ . ¿Qué observas?

7.

Intenta con esta. Sea $f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 4$ . Encuentra $f (- 3)$ y compara ese valor con el residuo de $\frac{f (x)}{x + 3}$ . ¿Qué observas?

8.

A partir de estos dos ejemplos, escribe una conjetura sobre $f (x)$ y dividir entre $x - n$ .

¿Listo para más?

Escribe un problema de división larga que tenga un residuo de $5$ , intercámbialo con un compañero y resuelve el problema que te dieron. Después, comprueba la respuesta de tu compañero. Para ello, usa lo que hiciste al crear el problema.

Aprendizajes

Según el teorema del residuo, dado que $f (x)$ es una función polinomial y $x - n$ es un factor lineal:

Vocabulario

algoritmo de la división para polinomios
cociente
dividendo
división
divisor
residuo
teorema del residuo para polinomios
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos que los polinomios se pueden dividir usando la división larga, al igual que los números enteros. Aprendimos a usar tecnología para comprobar nuestras respuestas. Cuando restamos, evitamos errores sumando el opuesto de los términos que se restaban. Descubrimos que al igual que con los números, un polinomio es un factor de otro polinomio si al dividir uno entre otro no queda residuo. Por último, aprendimos dos formas de escribir afirmaciones de multiplicación equivalentes cuando quedaba un residuo después de dividir.

Repaso

1.

Despeja $x$ en la ecuación: $x^{2} - 7 x - 18 = 0$

2.

Evalúa la expresión logarítmica:

$\log_{12} 1,728 =$