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Lección 9 ¿Es el final? Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Encontrar patrones en el comportamiento final de las funciones polinomiales.

Describir el comportamiento final de una función usando la notación adecuada.

¿Qué se puede concluir acerca del comportamiento final de las funciones polinomiales?

¿En qué se parece y en qué se diferencia el comportamiento final de las funciones polinomiales al de las otras funciones que conocemos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Anteriormente, comparamos y analizamos las tasas de crecimiento de funciones polinomiales (en su mayoría lineales y cuadráticas) y funciones exponenciales. En esta actividad vamos a analizar las tasas de cambio y el comportamiento final mediante la comparación de distintas expresiones. De esta manera, encontraremos patrones que nos permitan predecir el comportamiento final de las funciones.

Parte I: Veamos patrones en el comportamiento final

1.

  1. En la siguiente gráfica, escribe las ecuaciones de las funciones ordenadas de mayor a menor de acuerdo a su valor cuando . Pon arriba la función que tenga el mayor valor y abajo la función que tenga el menor valor. Pon al mismo nivel a las funciones que tengan el mismo valor. Para empezar, en la gráfica se incluye el ejemplo de .

  2. ¿Qué determina el valor de una función polinomial en ? ¿Esto también es verdadero para otros tipos de funciones?

  3. En la gráfica, escribe las mismas ecuaciones de las funciones ordenadas de mayor a menor de acuerdo a su valor cuando representa un número muy grande (como este número es muy grande, decimos que se aproxima al infinito positivo). Si el valor de la función es positivo, pon la función en el cuadrante I. Si el valor de la función es negativo, pon la función en el cuadrante IV. En la gráfica se da un ejemplo.

  4. ¿Qué determina el comportamiento final de una función polinomial para valores muy grandes de ?

  5. En la gráfica, escribe las mismas ecuaciones de las funciones ordenadas de mayor a menor de acuerdo a su valor cuando representa un número que se aproxima al infinito negativo. Si el valor de la función es positivo, ponla en el cuadrante II. Si el valor de la función es negativo, ponla en el cuadrante III. En la gráfica se muestra un ejemplo.

  6. ¿Qué patrones ves en las funciones polinomiales cuando los valores de se aproximan al infinito negativo? ¿Qué patrones ves en las funciones exponenciales? Usa tecnología para poner a prueba estos patrones con unos cuantos ejemplos más que elijas.

a blank coordinate plane with the range of infinity. The functions y = x cubed is in the lower left corner, y = x squared in the top left corner, p of x = x to the seventh power in the top right corner,and l of x = x to the seventh power at the vertex.

2.

¿Cómo cambia el comportamiento final de las funciones polinomiales si el signo del término con el exponente mayor se cambia de positivo a negativo?

Part II: Usemos los patrones de comportamiento final

En cada caso:

  • Determina el tipo de función. Si es una función polinomial, indica el grado del polinomio y si el polinomio es de grado par o impar.

  • Describe el comportamiento final a partir de lo que sabes sobre la función. Usa el siguiente esquema:

Cuando , , y cuando , .

3.

a.

Tipo de función:

Cuando , , y cuando , .

b.

Tipo de función:

Cuando , , y cuando , .

c.

Tipo de función:

Cuando , , y cuando , .

d.

Tipo de función:

Cuando , , y cuando , .

e.

Tipo de función:

Cuando , , y cuando , .

f.

Tipo de función:

Cuando , , y cuando , .

4.

Usa las gráficas y completa las afirmaciones para describir el comportamiento final de cada función.

a.

a positive cubic function graphed on a coordinate plane x–5–5–5555y–10–10–10–5–5–5555000

Cuando , , y cuando , .

b.

a negative quadratic function graphed on a coordinate plane x–5–5–5y–5–5–5555000

Cuando , , y cuando , .

5.

¿Cómo se relaciona el comportamiento final de las funciones cuadráticas con el número y tipo de sus raíces? ¿Cómo se relaciona el comportamiento final de las funciones cúbicas con el número y tipo de sus raíces?

Parte III: Funciones pares e impares

Algunas funciones que no son polinomiales se pueden categorizar como funciones pares o impares. Cuando los matemáticos dicen que una función es par, se refieren a algo muy específico.

6.

Veamos si puedes descubrir cuál es la definición de una función par con estos ejemplos. En cada caso, compara la función par con la función que no lo es y escribe las diferencias que observes.

a.

Función par:

a parabola opening up representing f of x = x squared graphed on a coordinate plane x–10–10–10–5–5–5555y–5–5–5555101010000

Función no par:

a curved line representing g of x = 2 to the power of x graphed on a coordinate planex–10–10–10–5–5–5555y–5–5–5555101010000

Diferencias:

b.

Función par:

a parabola opening up representing f of x = x to the power of 4 graphed on a coordinate plane x–5–5–5555y–5–5–5555000

Función no par:

a positive cubic function graphed on a coordinate plane with the line entering in the lower left quadrant and exiting in the upper right quadrant.x–5–5–5555y–5–5–5555101010000

Diferencias:

c.

Función par:

the function g of x = the negative absolute value of the sum of x plus 4 is graphed on a coordinate plane x–10–10–10–5–5–5555101010y–5–5–5555101010000

Función no par:

the function f of x = the negative absolute value of x, plus 4 is graphed on a coordinate plane x–10–10–10–5–5–5555y–10–10–10–5–5–5555000

Diferencias:

d.

Función par:

Función no par:

Diferencias:

7.

¿Qué puedes decir acerca de las características de una función par?

8.

La definición algebraica de una función par es:

es una función par si y solo si para todos los valores de en el dominio de .

¿Qué implicaciones tiene en su gráfica la definición de una función par?

9.

¿Todas las funciones polinomiales de grado par son funciones pares? Usa ejemplos para explicar tu respuesta.

10.

Intentemos la misma estrategia para descubrir cuál es la definición de las funciones impares.

a.

Función impar:

a curved line with a positive slope representing f of x = x cubed is graphed on a coordinate plane x–4–4–4–2–2–2222444y–20–20–20–10–10–10101010202020000

Función no impar:

a curved line graphed on a coordinate plane representing g of x = log2 of xx222444666888y–20–20–20–10–10–10101010000

Diferencias:

b.

Función impar:

a curved line with a negative slope representing f of x = negative x to the fifth power is graphed on a coordinate plane x–2–2–2222444y–20–20–20000

Función no impar:

a curved line representing g of x = x cubed plus 3x minus 7 is graphed on a coordinate plane x–4–4–4–2–2–2222444y–20–20–20–10–10–10101010000

Diferencias:

c.

Función impar:

two curved lines with a vertical asymptote at x = 0 are graphed on a coordinate plane representing f of x = 1 over xx–4–4–4–2–2–2222444y–20–20–20–10–10–10101010000

Función no impar:

a straight line with a positive slope representing g of x = 2x minus 3 is graphed on a coordinate plane x–4–4–4–2–2–2222444y–20–20–20–10–10–10101010000

Diferencias:

d.

Función impar:

Función no impar:

Diferencias:

11.

¿Qué puedes decir acerca de las características de una función impar?

12.

La definición algebraica de una función impar es:

es una función impar si y solo si para todos los valores de en el dominio de .

Explica cómo cumple con esta definición cada uno de los anteriores ejemplos de funciones impares.

13.

¿Cómo puedes saber si una función polinomial de grado impar es una función impar?

14.

¿Todas las funciones son pares o impares?

¿Listo para más?

1.

Encuentra las raíces de y describe su comportamiento final.

Raíces:

Comportamiento final:

Cuando , ­ , y cuando , .

2.

Predice cómo se verá la gráfica.

Aprendizajes

En :

Cuando

Cuando

Notación, convenciones y vocabulario

Entradas:

Salidas:

Relaciones entrada-salida:

Función par:

Función impar:

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección analizamos el comportamiento final de las funciones polinomiales y exponenciales. Encontramos patrones que nos permiten predecir el comportamiento final de las funciones polinomiales. Aprendimos a usar la notación adecuada para describir el comportamiento final de las funciones. También aprendimos la definición de funciones pares e impares, y vimos cómo identificarlas por sus simetrías.

Repaso

1.

Multiplica:

2.

Multiplica:

3.

Completa el conjugado de la expresión dada y multiplica.

.